[理学]概率统计3随机向量

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1、第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布第二节边缘分布第三节条件分布第四节随机变量的独立性第五节两个随机变量的函数的分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是={ω}.设X(ω)与Y(ω)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(ω),Y(ω))为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=P{Xx，Yy}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。第一节二维随机向量及其分布上一页下一页返回上一页下一页返回从几何图形上看,二维随机变量可看作是平面上的

2、随机点(X,Y).它的分布函数F(x,y)表示随机点(X,Y)落入以(x,y)为顶点的无穷矩形区域的概率.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质:(1).单调性:F(x,y)是x的不减函数,同时也是y的不减函数.事实上,固定y,当.上一页下一页返回(2).有界性:(3).右连续性:．上一页下一页返回(4).对任意的a

3、)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,…，且(X,Y)取各对可能值的概率为P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…(*)称(*)式为(X,Y)的(联合)概率分布或(联合)分布律，(X,Y)的分布律也可用表格形式表示上一页下一页返回…………………………………………上一页下一页返回分布律的性质:(1).非负性:(2).规范性:上一页下一页返回例1设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律如下表：X12312340.10.30000.20.10.1000.20求P{X＞1,Y≥3}及P{X=1}.解:P{X＞1,Y≥3}=P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}+P{X=3

4、,Y=3}+P{X=3,Y=4}=0.3；P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}=0.2.上一页下一页返回例2.一整数X随机地在1,2,3三个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1~X中取一个值,试求(X,Y)的分布律及P(X=Y).解:上一页下一页返回3、二维连续型随机变量定义4：设(X,Y)为二维随机变量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有上一页下一页返回z=f(x,y)的图形称为分布曲面.上一页下一页返回(1).联合密度函数f(x,y)的性质1)非负性:f(x,y)

5、≥0,即分布曲面在xoy平面的上方.2)规范性:(2).设G是平面上的一个区域,则几何意义:上一页下一页返回=f(x,y)；（3）若f（x，y）在点（x，y）处连续，则有常用多维分布设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为二维均匀分布则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.上一页下一页返回二维正态分布若(X,Y)的密度函数为:上一页下一页返回二维正态分布的分布曲面形状像个山岗,在点处达到最高峰.上一页下一页返回二维正态分布图上一页下一页返回例3.设（X，Y）在圆域x2+y2≤4上服从均匀分布，求（1）（X，Y）的概率密度；（2）P{0＜X＜1，0＜Y＜1}.

6、解（1）圆域x2+y2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（2）G为不等式0＜x＜1，0＜y＜1所确定的区域，所以P{0＜X＜1，0＜Y＜1}=上一页下一页返回例4设二维随机变量（X，Y）的概率密度为(1)确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；f（x，y）=（3）求P{X

7、则4、n维随机变量设E是一个随机试验,它的样本空间是={ω},设随机变量是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向量为n维随机向量或n维随机变量.简记为设是n维随机变量，对于任意实数,称n元函数为n维随机变量的联合分布函数。上一页下一页返回X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x),FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过求得两个边缘分布函数.第二节边