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1、应用概率统计第3章随机向量随机向量及其概率分布随机向量的联合分布函数随机变量函数的分布1.n维随机向量以n个随机变量X1，X2，…，Xn为分量的向量X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。2.二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布定义如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。第3.1节随机向量及其概率分布例如射击一次.问击中否?击中几环?击中点的坐标?击中
2、点到靶心的距离?称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y计算P{(X,Y)∈D}=联合概率分布性质①pij≥0;i,j=1,2,…②∑∑pij=1;联合概率分布(1)定义随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布。(2)边缘分布列对于离散型随机向量(X,Y),
3、分量X,Y的分布列称为边缘分布列。若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则(i=1,2,...)同理一般地,记:P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,...)概率分布表如下:边缘概率分布XY.独立性若(X,Y)的联合概率分布满足P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)称X与Y独立。例1某盒子中有形状相同的2个白球，3个黑球。从中一个个取球，令Y201Y1013/103/103/101/10Y101P3/52/5Y201P3/52/5Y101P3/52/5Y201P3/52/
4、5Y201Y1019/256/256/254/25不放回放回P{X=xi,Y=yj)≠P(X=xi)P(Y=yj)不独立独立P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)例2二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)解(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1
5、+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75XY二维随机向量区域概率图:-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}例3设(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.10.10.20.05求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值为-1,
6、0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=-1,Y=2)=0.4同理,P(X+Y=2)=0.3,X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P(X+Y=3)=0.05所以例4设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.Xx1x2Yy1y2y31/81/81/611/241/41/121/21/33/43/81/4定义F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2第3.2节随
7、机向量的联合分布函数二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为XYxyX≤xY≤y{,}二维联合分布函数区域演示图:(x,y)则F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=(4)如果(X,Y)为离散型随机向量,其联合概率分布为联合分布函数性质XYx1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)性质(1)f(x,y)≥0，(x,y)∈R2其中D为任意可度量区域.3.连续型随机向量的联合概率密度特别在f(x,y)的连续点有例5设(X,Y)～试求:(1)常数A;(2)P{X<2,Y<1};(4)P（X≤x,Y≤y）.解(1)所以,A=6=A/6
8、=1(3)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.XY0所以,P{X<2,Y<1}=21{X<2,Y<
