[理学]概率论第4章随机变量的数字特征

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1、第一节数学期望第二节方差第三节协方差与相关系数随机变量的数字特征第四章基本要求:1.深刻理解数学期望与方差的定义;2.熟练掌握期望与方差的性质;3.能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常见的随机变量的期望与方差;4.理解独立与相关的概念,会求协方差与相关系数;5.了解高阶矩的概念.学时数6第一节数学期望一、数学期望的定义1.离散型定义1设离散型随机变量X的分布律为:若级数绝对收敛,则称:为X的数学期望(简称期望)或均值.2.连续型定义2设连续型随机变量X的分布密度为f(x),若绝对收敛,则称

2、为X的数学期望或均值.注意：（1）期望的定义是结构型的,定义本身给出了求期望的公式,但需知道分布律或分布密度.（2）并不是任何随机变量的数学期望都存在;（3）n维随机变量的数学期望是指n个数学期望的总体,即:[例4.1]设X服从(0---1)分布,即P{X=1}=p,P{X=0}=q,求EX.解:[例4.2]设x~π(λ),求EX.解:因X的分布律为:[例4.3]设X~B(n,P),求EX.解:X的分布律为:[例4.4]设X在[a,b]上服从均匀分布,求X的均值.解:因X的分布密度为:0,其它[

3、例4.5]解:因X的分布密度为:[例4.6]设X服从参数为λ的指数分布,求EX.解:因X的分布密度为:0,x<0*[例4.7]设X服从参数λ＞0，r＞0的伽马(Gamma)分布，其分布密度为:0,x≤0求EX.解:*[例4.8]设X服从柯西分布,其分布密度为:试证明X的数学期望不存在.证:故X的数学期望不存在.*[例4.9]设(X1,X2)服从二维正态分布,求(X1,X2)的均值.解:X1,X2的分布密度分别为:又由[例4.5]知:二、随机变量函数的数学期望定理1设y=g(x)是连续实函数,Y=

4、g(X)是随机变量X的函数(1)若X是离散型随机变量,其分布律为:若级数绝对收敛，则E(Y)存在,且（2）若X是连续型随机变量,其分布密度为f(x),且绝对收敛,则E(Y)存在,且证明:Ypig（x1）p1g（x2）p2按照离散型数学期望的定义，定理2设z=g(x,y)是二元连续函数,Z=g(X,Y)是二维随机变量的函数.(1)若(X,Y)是离散型,其联合分布律为:且绝对收敛,则(2)若(X,Y)是连续型,变其分布密度为f(x,y),且绝对收敛,则:注意:(1)求随机变量的函数的期望并不要求知道

5、其分布,只需要知道作为自变量的随机变量{X或(X,Y)等}的分布即可.若先求出随机变量的函数的分布,则求期望的问题化为一维随机变量的期望问题.[例4.10]设X的分布律为XP求:(1)2X+1;(2)X2的期望.解:(1)(2)[例4.11]设X的分布密度为f(x)=求Y=2X+1的均值.解:[例4.12]设(X,Y)的(联合)分布律为:Y求:(1)X+Y;(2)X-Y的均值.X解:(1)(2)[例4.13]设(X,Y)的联合分布密度为:0,其它.求Z=XY的期望.解:小结三、数学期望的性质设X

6、,Y,Xi(i=1,2,…,n)是随机变量,c是常数,则数学期望有下列性质:(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X±Y)=E(X)±E(Y);(4)若X,Y相互独立;X1,X2,..Xn相互独立,则:证明(4)*[例4.14]设随机变量X服从超几何分布,其分布律为:求X的数学期望.解:设一批同类产品共有N件,其中次品M件,从中任取n件,则n件中所含次品数X是随机变量,它服从超几何分布.令Xk=1,第k次抽到次品;0,第k次抽到正品.显然X=X1+X2+…+Xn,由性质(3

7、)得:例4.15市内由甲地到乙地须先乘汽车再乘电车,乘汽车和电车运行的时间分别为18分钟和20分钟,汽车每4分钟开出一辆,电车每6分钟开出一辆.设乘客到达车站的时刻是随机的,因而等汽车所用的时间X~U[0,4],等电车所用的时间Y~U[0,6],求由甲地乘车到乙地所须时间的平均值.解:设Z表示乘客由甲地到乙地所须的时间,则例4.16一工厂班车载有20位职工自工厂开出,中途有10个车站可以下车.在每一个车站如没有人下车便不停车.设每位职工等可能地在各个车站下车,并设各人是否下车相互独立,以X表示停

8、车次数,求E(X).解:引入计数随机变量第二节方差一、方差的定义定义设X是一随机变量,若E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2为X的方差.记为D(X),称为X的均方差.(或标准差)注意:由方差的定义可知,X的方差就是X的函数Y=(X-EX)2的数学期望,故求期望的公式可用来求方差.[例4.17]设X服从(0---1)分布,求DX.解:[例4.18]设求方差D(X).解:解:[例4.21]设X服从参数为λ的指数分布,求X的方差与均方差.解:二、方差的性质设X,Y和Xi(i=1,2,…n)是随机