[理学]席第09讲随机变量数字特征

《[理学]席第09讲随机变量数字特征》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量的分布，随机变量的分布能够完整地描述随机变量的行为。现在我们开始学习随机变量的数字特征讨论随机变量的数字特征的原因如下：在实际问题中，随机变量的概率分布一般是较难确定的。而它的一些数字特征较易确定，人们只需要知道它的某些数字特征.在实际应用中，人们有时更关心概率分布的数字特征.此外，对于一些常见分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好是分布的某些数字特征.只要能够确定分布的数字特征，也就能够完全确定分布.在这一章中，我们主要研究以下数字特征:数学期望，方差,相关系数和矩下面

2、先讨论数学期望一、离散型随机变量的数学期望例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工小马每天生产的废品数X是一个随机变量.X的分布律为现观测N天，发现有n0天出现0个废品，有n1天出现1个废品，有n2天出现2个废品。求小马平均一天生产的废品数N天中小马生产的废品总数为于是小马平均一天生产的废品数为ni/N是事件{X=i}发生的频率，当N很大时，它稳定于事件{X=i}的概率pi当试验次数N很大时，随机变量X的观测值的算术平均值稳定于因此可以作为描述随机变量X取值的加权平均状况的数字特征。定义1设X是离散型随机变量，它的分布律为:P(X=xk)=pk,k=1,

3、2,…如果绝对收敛，则称它为X的数学期望或均值，记为E(X),即若发散，则称X的数学期望不存在。例2：已知X的分布如下X100200P0.010.99求E(X)解:2、几种常见离散型分布的数学期望1）两点分布例3：设随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X)解:2）二项分布例4：设随机变量X~b(n,p)，求E(X)计算如下:3）泊松分布例5：设随机变量X服从参数为的泊松分布，求E(X)(见书p114-115的例6)例6某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时

4、试开次数的数学期望.解:设试开次数为X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，密度函数为f(x).我们的目的是：寻找一个能体现随机变量取值的平均的量.为此,只要把前面的求和改成积分即可.1、定义设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果有限,则定义X的数学期望为若则称X的数学期望不存在例7设X~U(a,b)，求E(X)(见书p115的例7)2、常见的连续型随机变量数学期望例8设X服从参数为的指数分布，求E(X)解:例7设X~U(a,b)，求E(X)(见书p115的例7)2、常见的连续

5、型随机变量数学期望例9若X服从，求E(X)解:例10设X的概率密度为求E(X)解:三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.例11：某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X（以年计），规定：X1，一台付款1500元1

6、，一台付款2000元23，一台付款3000元设X服从参数为1/10的指数分布，求该商店一台电器的平均收费(见书p112-113的例4)下面的基本公式指出，答案是肯定的.那么是否可以不先求出g(X)的分布而只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？使用上述方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，有时是比较复杂的.2、设X是一个随机变量，Y=g(X)（1）设X为离散型随机变量,且其分布律为P(X=xk)=pk，k=1,2,…。若绝对收敛，则Y的数学期望存在，且（2）设X为连续型随机变量,其概率密度为f(x)，且Y=g(X)也是

7、连续型随机变量。若绝对收敛，则Y的数学期望存在，且(定理证明超出课程范围,特殊情况证明见书p116)例12:设X~b(n,p),Y=eaX,求E（Y）。解:例13:设X~U[0,],Y=sinX,求E（Y）。解:类似地，利用上面的方法也可以考虑多维随机变量的函数的数学期望3、已知二维随机变量（X，Y）的联合分布，求函数Z=g(X,Y)的数学期望（1）设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为绝对收敛，则Z的数学若期望存在，而且有（2）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y),Z=g(X,Y)也是连续型随机变量绝对收敛，则Z的数学期望存在

8、，而且有若四、数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;2.若k是常数，则E