《矢量场的旋度》ppt课件

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1、1.3矢量场的旋度一、矢量的环流：1、定义：线在矢量的场中，矢量沿某一闭合路径的线积分，称为该矢量沿此闭合路径的环流。环量是一个标量；可正、可负。2、有旋场、无旋场（保守场）：在某一矢量的场中，矢量沿任意闭合路径的线积分，恒等于零，则该矢量场为无旋场；反之，为有旋场。二、旋度：1、环流密度：在矢量场中来研究其M点的性质，取包含此点的一个面元，其边界为C，保持面元的方向不变，而以任意方式趋近于零。则环流密度环量线环量面密度讨论：与的边界C保持一致，取最大值与有一夹角，则＜当，时，（有旋矢量场与面元的法向分量垂直），环流密度有最大值，此即被称

2、为的旋度大小；的方向就称为旋度的方向。与不在同一平面上2、旋度的定义：矢量的旋度。记作故即任意方向的环流密度３、旋度的物理意义旋度的计算矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；在直角坐标系下：故例：求矢量场在点M（1，0，1）处的旋度及沿方向的环流密度。解：矢量场的旋度在点M（1，0，1）处的旋度在点M（1，0，1）处沿方向的环流密度三、矢量场旋度的重要性质旋度的散度恒等于零。证明：∵旋度与散度的定义都与坐标系无关。应用：斯托克斯定理：证明：将S分成许多面元其相应面元的边界为对每一个面元，

3、其边界的环绕方向均取与大回路C一致的环绕方向。则：相邻两面元、的边界、在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。又………故证毕例1.4已知。现有一个在面内的闭合路径C，此闭合路径由和之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。求：（1）矢量场的A旋度；（2）计算环流。积分区域为如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。解（1）（2）（3）斯托克斯定理成立。