《ch插值法》ppt课件

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1、引言拉格朗日插值差商与牛顿插值差分与等距节点插值*埃尔米特插值分段低次插值样条插值第5章插值法§1引言一、问题背景应用：例如程控加工机械零件等。二、一般概念三、几何意义本章：求出插值多项式,分段插值函数,样条插值函数；讨论P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计.证明:设将节点代入:四、插值多项式的存在唯一性由于节点互异:方程组有且只有唯一解.§2拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如的插值多项式的方法有多种.二、拉格朗日插值多项式由插值多项式的存在唯一性取m=0得：练习给定数据表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值多项式L3(x).思考:进一步求函数x=1

2、.3处的近似值?思考:误差估计?三、插值余项与误差估计证明：P26例1已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算和抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.例1已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值,并估计误差.§3差商与牛顿插值多项式一、差商及其性质拉格朗日插值优缺点….差商的基本性质:★由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商…01234┆x0x1x2x3x4┆f(x0)

3、f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)┆f[x0,x1]f[x1,x2]f[x0,x1,x2]f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]…┆┆┆可估计误差kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0123412345147863301-1-1/3-2-3/2-1/61/24若增加数据点(6,10),求五次牛顿插值多项式?kxkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0123450.40.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.0

4、26521.253821.11601.18600.280001.27570.358930.197331.38410.433480.213000.031341.51530.524930.228630.03126-0.00012P32例4*§4差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分．一、差分及其性质差分的基本性质:差分表:∆2f0∆2f1…┆∆2f2┆┆∆f0∆f1∆f2∆f3┆f0f1f2f3f4┆01234┆∆2∆3…∆fkk二、等距节点插值公式P34§5Hermite插值P38另一类三次Hermite插值多

5、项式见P36.上讲内容小结关关关§6分段低次插值一、高次插值的病态性质-----龙格(Runge)现象例如：对函数在区间[-5，5]内进行插值，并对比插值结果。二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).解决:方法一、采用分段低次插值方法二、在各节点处不仅给出其函数值，还给出其各阶导数值，即分段Hermite插值法。方法三、采用分段光滑插值，即样条插值。方法四、采用有理逼近。类似地，为求f(x)的近似值，也可选取距x最近的三个结点xk-1,xk,xk+1进行二次插值，即取:这种插值称为分段二次插值（又称分段抛物插值）三、分段二次插值四、分段三次埃尔米特插值

6、分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足§7样条插值问题背景…一、样条插值的概念其它边界条件:“非扭结”边界条件，即第一、第二段多项式的三次项系数相同，最后一段和倒数第二段三次项的系数相同。“matlab中的spline(x,y)”二、三次样条插值函数的建立P42系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有唯一解。注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)三次样条插值的算法步骤：①计算j,

7、j,gj;②计算Mj(追赶法等);③写出样条函数S(x);④找到x所在区间(即找到相应的j);由该区间上的S[j](x)算出f(x)的近似值。三、误差界与收敛性插值法小结Lagrange:给出y0…yn，选基函数li(x)，其次数为节点数–1。NewtonLn(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点时方便处理。Hermite：给出yi及yi’，选hi(x)及hi(x)。Spline：分段低次,自身光滑,f的导数只在边界给出。