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1、第一讲向量及其线性运算第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影向量的表示:向量的模:向量的大小,向量:既有大小,又有方向的量.向径:自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,向量的概念几种特殊的向量注零向量的方向看作是任意的.规定:零向量与任何
2、向量平行.因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.向量的关系向量的相等:若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b.向量的平行:若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b.记作负向量:与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作－a.向量的共线:向量的共面:第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影第一讲向量及其线性运算一、向量的概
3、念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影二、向量的线性运算1．向量的加法2．向量的减法3．向量与数的乘法二、向量的线性运算1．向量的加法2．向量的减法3．向量与数的乘法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律运算法则三角形法则可推广到多个向量相加.注二、向量的线性运算1．向量的加法2．向量的减法3．向量与数的乘法二、向量的线性运算1．向量的加法2．向量的减法3．向量与数的乘法三角不等式运算法则三角形法则:运算规律:二、向量的线性运算1．向量的加法2．向量的减法3
4、．向量与数的乘法二、向量的线性运算1．向量的加法2．向量的减法3．向量与数的乘法是一个数,规定运算律结合律分配律运算法则注则为单位向量,记作与a的乘积是一个向量,记作(为唯一实数)设a为非零向量,则a∥b定理1例1ABCD对角线的交点,设M为用a与b表示注定理1是建立数轴的理论根据点P向量OP=xi实数x点P的坐标第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量
5、线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,坐标面卦限(八个)zOx面基本概念Ⅰ空间点的坐标坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标特征:有序数组点M的坐标原点O(0,0,0);两个坐标为零一个坐标为零三个坐标为零坐标轴:坐标面:坐标轴和坐标面的坐标特征:向量的坐标表示向量r的坐标分解式x,y,z轴上的单位向量点M的坐标任意向量向径向量r沿三个坐标轴方向的分向量向量r
6、的坐标注点M与向量r的坐标记号相同,须根据上下文区分第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影设平行向量对应坐标成比例例2求解以向量为未知元的线性方程组已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为及实数得即例3定比分点公式点M为AB的中点,中点公式M的坐标,第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三
7、、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影第一讲向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、向量线性运算的坐标表示式五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1．向量的模与两点间的距离公式2．方向角和方向余弦3．向量在轴上的投影五、向量的模、方向角和投影1．向量的模与两点间的距离公式2．方向角和方向余弦3．向量在轴上的投影勾股定理两点间的距离公式向量的模求证以的三角形是等腰三角形.为顶点例4在z轴上求与两点等距离的点.例5已知两点求例6五、向量的模、方向角和投
8、影1．向量的模与两点间的距离公式2．方向角和方向余弦3．向量在轴上的投影五、向量的模、方向角和投影1．向量的模与两点间的距离公式2．方向角和方向余弦3．向量在轴上的投影设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其
