《用向量求直线和平面所成的角》进阶练习（一）-1-2

《《用向量求直线和平面所成的角》进阶练习（一）-1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、《用向量求直线和平面所成的角》进阶练习一、选择题1.已知正四棱柱中，,则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.2.若平面α的法向量为，平面β的法向量为，则平面α与β夹角（锐角）的余弦是（　　）A. B. C. D.-3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（　　）A.- B. C.- D.二、填空题4.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为_

2、_____．5.如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是；（2）VB-ACE的体积是；（3）AB∥CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）．参考答案1.C    2.A    3.B    4.5.（1）（2）（4）（5）1.【分析】设AB=1，则AA1=2，建立空间直角坐标系，设

3、平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），=（1，1，0），=（0，1，-2），=（0，1，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（-2，2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=

4、，故选C．2.解：∵平面α的法向量为，平

5、面β的法向量为，∴cos＜＞===，则平面α与β夹角（锐角）的余弦等于

6、cos＜＞

7、=，故选：A．根据空间向量的数量积公式即可求出平面α与β夹角（锐角）的余弦．本题主要考查空间向量数量积的应用，要求熟练掌握空间向量数量积的公式，比较基础．3.解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）．∴=（-2，-2，0），=（0，0，2），=（-2，0，1）．设平面B1BD的

8、法向量为=（x，y，z）．∵⊥，⊥，∴，令y=1，则=（-1，1，0）．∴cos＜n，＞==，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ=

9、cos＜n，＞

10、=．故选：B．以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面B1BD所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．4.解：在三棱锥A-BCD中，∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以B

11、A为z轴，建立空间直角坐标系，∵BC=BD=2，AB=1，∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），∴=（-2，0，0），=（-2，0，1），=（-2，2，0），设平面ACD的法向量为，则=0，=0，∴，∴=（1，1，2），设直线BC和平面ACD所成角为θ，则sinθ=

12、cos＜，＞

13、=

14、

15、=．故答案为：．以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC和平面ACD所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法

16、，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．5.解：由题意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a（1）由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角∵AB=，BC=a，AC=a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，故（1）正确；（2）VB-ACE的体积是S△BCE×AD==，故（2）正确；（3）∵CD∥BE，∴AB与CD不平行，故（3）不正确；（4）∵AD⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE∵BE⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平

17、面ADE，故（4）正确；（5）∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=，∴sin∠BEA=，故（5）正确故答案为：（1）（2）（4）（5）（1）由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；（2）VB-ACE的体积是S△BCE×AD==；（3）根据CD∥BE，可知AB与CD不平行；（4）证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE；（5）确定∠BAE为直线BA与平面A