《用向量求直线和平面所成的角》进阶练习（三）-1-2

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1、《用向量求直线和平面所成的角》进阶练习一、选择题1.在三棱柱ABC-中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成角的大小（）A. B. C. D.2.在正方体中,E为的中点,则DE与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，在底面是边长为的正方形的四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥面ABCD，且PA=，则直线PB与平面PCD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、解答题4.（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形,,,和是两个边长为的正三角形,.（I）求证:平面

2、平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.5.如图，直四棱柱中，底面是正方形，，是侧棱的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．参考答案1.A    2.C    3.D    4.（I）证明：设O为BD的中点， PB=PD，  PO  BD连接OA，  AB  AD，    ，， ,  ,又   ， PO  平面ABCD， 平面  ，  平面  平面 ；                                    (Ⅱ)解：过点O分别作AD、AB的平行线（如图），并以它们分别为 

3、 、  轴，以OP为  轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：  ，  ，  ，  ，  ，  ，设平面PDC的法向量为  ，直线CB与平面PDC所成角  ，则  即  解得 ，令  ，则平面PDC的一个法向量为  ，又  ，     ，∴CB与平面PDC成角的正弦值为 .5.（1）证明：不妨设AA1=2AB=2，则AE2=AB2+BE2=1+1=2，AD12=AD2+D1D2=1+4=5,D1E2=D1B12+B1E2=2+1=3，则AE2+D1E2=AD12，∴AE⊥D1E．同理可得EC⊥D1E．因为A

4、E∩CE=E，AE，CE都在平面ACE内，∴D1E⊥平面ACE．（2）解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），C（0，1，0）．则，设平面ACE的法向量为，由得．令z=1，得．设直线AE与平面ACD1所成的角为，则sin=．即直线AE与平面ACD1所成的角为的正弦值为．【解析】1.【分析】本题考查了利用空间向量求线面角，根据条件，建立空间直角坐标系，找出各点坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，然后由空间向量求解.【解答】解：以B为坐标

5、原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A(，1，0)，B1(0，0，3)，C1(0，2，3)，=(-，-1，3)，=(0，2，0)，=(0，0，3)．设平面AB1C1所的一个法向量为=(x，y，z)，则即，取z=1，则得=(-，0，1)，∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．2.【分析】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．【解答】解：设正方体ABCD-A1B1C

6、1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，∵E为BC1的中点，∴D（0，0，0），E（1，2，1），设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ，∵面BCC1B1的法向量故选C.3.【分析】本题考查利用空间向量求线面角的余弦，首先求出平面PCD的一个法向量，则直线PB与平面PCD所成角的余弦值就等于向量PB与法向量的夹角的余角的余弦.【解答】解：以A为原点，以AB、AD、AP分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a

7、，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a）则，，，设为平面PCD的一个法向量，则，即，取，∴，则直线PB与平面PCD所成角的余弦值为.故选D.4.本题考查证明线面垂直的方法，求直线和平面所成的角.(Ⅰ)由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD，然后根据面面垂直的判定可得答案； (Ⅱ) 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为 ，可得两个向量 夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．5

8、.本题考查线面垂直的判定定理和利用空间向量求线面角的正弦值的问题，线面角的正弦值即直线与平面向量的法向量的夹角的余弦值的绝对值，这点需要牢记．（1）利用勾股定理求出D1E分别与直线AE,CE分别垂直，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）建立空间直角坐标系，求出各点的向量，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角的余弦值求出所成的角的正弦值即可．