《坐标表示平面向量的线性运算》进阶练习 (三)-1

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1、《坐标表示平面向量的线性运算》进阶练习一、选择题1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）A.6      B.2      C.8      D.22.在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（　　）A.= B.= C.=-2 D.+=3.在平行四边形ABCD中E，F分别边BC，CD的中点，且=，=，则=（　　）A.（-） B.（-） C.2（-） D.2（-）二、解答题4.如图，在平行四边形ABCD中，BD

2、，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．5.我们把一系列向量（i=1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}．已知向量列{}满足：=（1，1），=（xn，yn）=（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）（n≥2）．（1）证明：数列{

3、

4、}是等比数列；（2）设cn=

5、

6、•log2

7、

8、，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说

9、明理由．（3）设θn表示向量与间的夹角，若bn=θn，对于任意的正整数n，不等式++…+＞loga（1-2a）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案【参考答案】1.D    2.B    3.C    4.解：（1），∵，又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，∴，，∴．即．（2）由，得，即，故D，P，O三点共线，且x，所以i=0与i=i+1对于边x≤211的两高之比为i，x，所以x=3x+1与△ACD的面积比为．（3），==-2+4（λ+μ）-2λμ=1，所以①又==，所以②由①②得．5.（1）证明：根据题意，得===，∴数列{

10、

11、}是等比数列；（2）结论：数列{cn}中存在最小项，最

12、小项为c5=．理由如下：∵==，∴cn=，假设数列{cn}中的第n项最小，由c1=、c2=0，可知0≤c2＜c1，当n≥3时，有cn＜0，由cn≤cn+1，可得≤，即，∴，∴n2-6n+7≥0，解得或（舍），∴n=5，即有c5＜c6＜c7＜…，由cn≥cn+1，得3≤n≤5，又0≤c2＜c1，∴c5＜c4＜…＜c1，故数列{cn}中存在最小项，最小项为c5=；（3）解：∵cosθn====，∴θn=，∴bn==，∴==，∴++…+=≥=1＞loga（1-2a），即loga（1-2a）＜2=，①当0＜a＜1时，则有，解得；②当1＜a＜+∞时，则有，无解；综上所述，实数a的取值范围为：（0，

13、）．【解析】1.解：根据题意，得；

14、F3

15、=

16、F1+F2

17、===2，∴F3的大小为2．故选：D．根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可．本题考查了平面向量的应用问题，解题时应平面向量的合成法则与向量的模长公式进行解答，是基础题．2.解：由三角形的重心定理可得：，，===，．可知：A，C，D都正确，B不正确．故选B．本题考查三角形中重心的性质及向量的线性关系，重心为中线的三等分点，由三角形的重心定理和向量共线定理可得：，，===，，即可判断出结论．3.解：由向量的运算法则可得===，同理可得===，联立两式可得=，=∴==（）-（）=2（-）故选：C由题意可得=，=，联立两式可

18、得和，而=，代入化简可得．本题考查向量的加减运算，涉及方程组的思想，属基础题．4.（1）构造向量，根据图形得出．可判断垂直关系．（2）三角形的面积的比转化为高端比来解决，（3）利用向量的线性运算得出①，根据数量积得出②①②联合求解即可．本题综合考察了平面向量的几何性质，运算，考察了学生的运用图形解决问题的能力，属于中档题．5.（1）通过向量模的计算易得数列{

19、

20、}是等比数列；（2）易知cn=，假设数列{cn}中的第n项最小，可知0≤c2＜c1，当n≥3时，通过计算可得c5＜c6＜c7＜…，再由cn≥cn+1知c5＜c4＜…＜c1，故得结论；（3）通过向量数量积的运算，可得cosθn=，从

21、而bn=，利用放缩法可得++…+＞1，故恒等式即为loga（1-2a）＜2=，分①0＜a＜1、②1＜a＜+∞两种情况讨论即可．本题考查数列和向量的综合运用，考查放缩法，考查分类讨论的思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．