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《2020届江苏省镇江市统一高考数学第二轮复习学案（解析答案版）数列中的恒成立问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列中的恒成立问题一．知识梳理1.等式恒成立问题方法：多项式恒等、特殊值法.2.不等式恒成立问题方法：分离变量、函数法求最值、单调性求最值.二．基础训练1．已知数列an＝()n－2，bn＝λan－n2，若数列{bn}中恒成立，则实数λ的取值范围为．答案:λ＞－32．数列{an}通项公式为an＝an2＋n，若{an}满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围为．答案:(－，－)3．在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为．答案:54.在正项等比数列中，，，则满足的最大
2、正整数的值为．答案:三．例题选讲例1．已知无穷等差数列的各项均为正整数，为数列的前项和，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；选题目的：数列中的方程恒成立问题，多项式恒等求解分析诱导：设公差，转化成关于n的方程有无穷解问题，可用多项式恒等求解解：设无穷等差数列的公差为，则，所以且因为对于一切正整数n都成立，所以因为数列的各项均为正整数，所以由①，可得或．当时，由④得，且同时满足②③．当时，由②得，且同时满足③④．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为或.例2.已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有a＝an
3、an＋2＋k(k为常数).如果a1＝a，a2＝b(a，b为常数)，是否存在常数λ，使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立?若存在.求出λ；若不存在，说明理由.选题目的：数列中的方程恒成立问题，特殊值法分析诱导：假设存在，由特殊情况，求参数的值，再证明；解答：∵a1＝a，a2＝b，a＝anan＋2＋k，∴a3＝，猜想λ=＝，下证：存在常数λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立．∵a＝anan＋2＋k，∴a＝an－1an＋1＋k，n≥2，n∈N*∴a－a＝anan＋2－an－1an＋1，即a＋an－1an＋1
4、＝a＋anan＋2，∵an＞0，∴＝．∴＝=…＝．∴an＋an＋2＝an＋1．即λ=∴存在常数λ＝使得an＋an＋2＝λan＋1对任意n∈N*都成立．方法提炼：方程恒成立问题解题策略：①假设存在，由特殊情况，求参数的值，再证明；②转化为关于n的方程恒成立问题；例3.已知数列满足,.(1)求数列的通项公式；(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为.记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．选题目的：数列中的不等式恒成立问题，分离变量，分
5、类讨论解:(1)因为,所以时,,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列又当n=1时,,解得,从而(2)由(1)得,[1]若为等差中项,则,即或,解得此时,所以[2]若为等差中项,则,即,此时无解[3]若为等差中项,则,即或,解得,此时,所以故,或,从而[1]当时,,则由,得,当时,,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数[2]当时,,则由,得,因为,所以满足恒成立；但当时,存在,使得即.例4.等差数列{an}的前n项和为，且满足，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，（为非零常数），若对任意n∈N*都有恒成立，求的取值
6、范围．选题目的：数列中的不等式恒成立问题，分离变量，分类讨论分析诱导：恒成立，可分离出，化为或形式，分离时需要分奇数、偶数讨论解答：（1）易得（2）由得化简得n为偶数时，有，令，则关于n单调递增，此时，，所以；n为奇数时，有，令，则关于n单调递减，此时，，所以；综上，；例5.已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，（）．（1）若λ=0，求数列{an}的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．选题目的：数列中的不等式恒成立问题，比差法找最值分析诱导：解：（1）λ=0时，．∴．∵，∴．∴
7、．∵，∴．（2）∵，，∴．则，，…，（n≥2）．相加，得．则（n≥2）．上式对n=1也成立，∴（）．③∴（）．④④-③，得．即．∵λ≥0，∴>0，>0．∵对一切恒成立，即有对一切恒成立．即对一切恒成立．记，则．当n=1时，；当n≥2时，；∴是一切中的最大项．综上所述，λ的取值范围是．四．课堂小结1.数列中恒成立问题一般分为两类：一类是与等式恒成立相关的问题；另一类是与不等式相关的问题.2.基本思路与常见的恒成立问题类似：等式看作方程，不等式问题找最值.3.数列问题的特殊性在于：方程可能要考虑整数解；找最大（小）项的方法不同.五.课堂
8、检测1.已知数列是由正数组成的等比数列，首项，公比，是其前项和.若对任意的正整数都有成立，则实数的取值范围__________．答案：2.数列{an}的前n项和为Sn，满足nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，n∈N*，且a1＝2，记Tn＝
