2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：27 数列中的恒成立问题

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1、第27节数列中的恒成立问题一、知识梳理数列中恒成立问题方程恒成立不等式恒成立多项式恒等特殊值法分离变量函数法求最值比较法找最值值最值问题二、基础训练★1．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sm＋Sn＝Sm＋n，且a1＝1．那么a10＝．答案：1★2．数列an＝4n2()n－1(n∈N*)的最大项是第项．答案：最大项为a9★3．数列{an}通项公式为an＝an2＋n，若{an}满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围为．答案：(－，－)★★4．已知数列，，若对任意的正整数m和n(

2、n>m)满足则．答案：-1★★5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)(+1)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为．答案：λ＜2★★6．数列{an}的前n项和为Sn，满足nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，n∈N*，且a1＝2，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是．答案：2★★★7．数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj=akbl，记cn=，则

3、{cn}的通项公式为．答案：★★★8．已知数列{bn}满足bn＝2n-1，且＋＋…＋

4、数）对任意的正整数恒成立，求出所有的等差数列的通项公式．解：设的公差为，则则有对任意正整数n恒成立可得解得或故有或变式演练2．数列的前项和为，前项积为，且满足，问是否存在常数a，使关于的方程有无穷多个正整数解？如果存在，求出a的值，如果不存在，请说明理由．解：由题意，也适合；故由等比数列求和公式得，，，可设，代入化简得例2．数列{an}满足：a1+++…+=n2+2n（常数λ>0，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r

5、，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，都有(1—λ)Sn+λan>2λn恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当时，由①①—②得，所以（）因为，所以（）（2）当时，若存在成等比数列，则由奇偶性知所以，即，这与矛盾．故不存在互不相同的正整数，使得成等比数列（3）变式演练3．等差数列{an}的前n项和为，且满足，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，（为非零常数），若对任意n∈N*都有恒成立，求的取值范围．解：（1）易得　（2）由得化简得n为奇数时，有，令

6、，则关于n单调增，此时，，所以；n为奇数时，有，令，则关于n单调减，此时，，所以；综上，；变式演练4．无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．(1)当m＝12时，求a2010；(2)若a52＝，试求m的值；(3)判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)a2010＝a18＝a12

7、＋6＝()6＝．(2)m＝45，或15，或9．(3)当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×30＋24＝2007．例3．设数列{an}的前n项和为Sn．若，则称{an}是“紧密数列”．（1）若数列{an}的前n项和，证明：{an}是“紧密数列”；（2）设数列{an}是公比为q的等比数列．若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．解：（1）由数列{an}的前n项和，得an＝＝＝n+()．所以，＝＝＝1+，因为对任意n∈N*，0＜≤，即1＜1+≤，所以，1＜＝1+≤，所以，≤≤2，即{a

8、n}是“紧密数列”．（2）解法一：由数列{an}是公比为q的等比数列，得q＝，因为{an}是“紧密数列”，所以≤q≤2．　①当q＝1时，Sn=na1，==1+，所以，≤1<==1+≤2，故q＝1时，数列{Sn}为“紧密数列”，故q＝1满足题意．　②当q≠1时，Sn＝，则=．因为数列{Sn}为“紧密数列”