2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案（解析答案版）：学案14 函数恒成立问题教师版

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1、函数恒成立问题一、知识梳理1.恒成立问题①，恒成立，则（若，则）②，恒成立，则（若，则）③，恒成立，记，则④，恒成立，记，则⑤，恒成立，则⑥，恒成立，则2.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法①函数性质法②分离参数法③主参换位法④数形结合法等3.一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（线段）nmoxynmoxy可得①或②，也可合并成.同理，若在内恒有，则有.4.二次函数——利用判别式、韦达定理和根的分布求解类型1：设，在上恒成立且；在上恒成立且类型2：设，（1）当时，在上恒成立或或；在上恒成立.（2）当时，在上恒成立；在上恒成立或

2、或.二、基础训练1.对于满足的所有实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________.【答案】或2.已知函数在上恒负，则实数的取值范围是______.【答案】3.已知函数在上有意义，则实数的取值范围是.【答案】4.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围．【解析】法一：利用函数图象，所以．法二：分离参数法：恒成立，所以．5.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围．【解析】恒成立，的最小值为6，，所以．6.已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围．【解析】恒成立，，所以．7．若不等式对恒成立，则的取值范围是________．【答案】三、例题

3、分析例1.已知函数f(x)=x2+2ax—a+2.（1）若对于任意的，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于任意的，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对于任意的，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.【解析】（1）若对于任意的，f(x)≥0恒成立，需满足Δ=4a2-4(-a+2)≤0，解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2，1].（2）由题知对称轴方程为x=-a，当-a<-1，即a>1时，f(x)min=f(-1)=3-3a≥0，解得a≤1，与已知矛盾，舍去；当-a>1，即a<-1时f(x)min=f(1)=3

4、+a≥0，解得-3≤a<-1；当-1≤a≤1时，f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0，解得-1≤a≤1.综上，实数a的取值范围是[-3，1].（3）对于任意的，f(x)≥0恒成立，等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0，所以，解得x≠-1，所以x的取值范围是{x

5、x≠-1}.【变式1】已知函数，对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】易知函数是上的奇函数且单调递增，化为，即，问题变为在上恒成立，故有所以．例2.已知函数，若对，，，求实数的取值范围．【解析】，所以，所以.【变式1】已知函数，若对，，，求实数的取值范围．

6、【解析】，所以，所以．【变式2】已知函数，若对，，，求实数的取值范围．【解析】所以所以.【变式3】已知，若对，，，求实数的取值范围．【解析】的值域是的值域的子集，，所以，所以【变式4】已知，若对，，，求实数的取值范围．【解析】的值域与的值域有交集，即，可考虑，所以或所以或，补集为.例3.函数，对于任意，且，都有，求实数的取值范围.【解析】能否去绝对值，故不妨假设，求导易得在上单调递增，所以，所以，构造函数，转化为在上单调递减，所以恒成立，所以，恒成立，所以.例4.已知函数（为正常数）．（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求的

7、取值范围.【解析】（1），恒成立，令，，列表略，.（2）当时，由(1)知，若在上单调递增，又，当；当，故不等式恒成立当，，令，令，则，当时，，则，当，，则单调递减，，矛盾，因此.法二：，，讨论单调性可得．当时，，在单调递增，又，符合题意；当时，，，因为在不间断，所以在上存在零点，单调减，单调增，所以当时，不合题意；当时，符合题意；综上.例5.已知函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围.【解析】①当时，恒成立，所以，．令，则，当时，，则在时为增函数；当时，，则在时为减函数．所以，所以.②当时，，即对于恒成立，所以，，所以.③当时，，即对于恒成立，所

8、以，，所以.综上.【变式1】若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是．【解析】函数恒在函数的图象的上方（含相切），因为在处切线斜率为，可画图知.【变式2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围．【解析】在坐标系中作出函数的图象，如图，不等式恒成立等价于函数的图象恒在函数的图象的上方（含相切），当直线与函数的图象相切时可求得的临界值，，令，可得：或（舍），．四、课堂检测1.若不等式对一切都成立，求实数的取值范围.【答案】2.（1）对任意，都有不等式恒成立，求的取值范围；（2）对任意，都有不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.3.设函数．

9、对任意，恒成立，则实数的取值范围是．【解析】对任意恒成立，对任意恒成立，利用图象，设，只能，所以.4.已知函数，若不等式≥对R恒成立，则