从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角

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1、二面角二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.一、二面角的定义二面角二面角2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角二、二面角的平面角ABPl1、定义二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0180二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱

2、上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B12、作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内lPABABPlABOlP—定义法—三垂线(逆)定理法—垂面法二面角ABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO

3、=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º二面角例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。∠COD是二面角的平面角①②③一“作”二“证”三“计算”定义法ABCD例2.A为二面角－CD－的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45º角，又AB与平面成30º，求二面角－CD－的大小。二面角CO解：作BC于C，连结AC过C作COCD

4、于O，连结OB由三垂线定理可得：BOCD∠BOC是二面角的平面角则∴所求二面角的大小为45º设AO=a在RtAOB中，BO=a,AB=a在RtACB中，BAC=30º,AB=a,BC=a在RtBCO中，sin∠BOC=三垂线定理解：ABPlO二面角例3．如图P为二面角内一点，PA⊥,PB⊥,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。设过PA、PB的平面PAB与棱l交于O点∵PA⊥∴PA⊥l∵PB⊥∴PB⊥l∴l⊥平面PAB∴∠AOB为二面角的平面角又∵PA=5，PB=

5、8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴所求二面角的度数为120º垂面法小结二面角二面角二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量1、定义

6、法2、三垂线（逆）定理法3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习:OABCP60º二面角2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？PβlAB作业1：已知Rt△ABC在平面内，斜边AB在30º的二面角-AB-的棱上,若AC=5，BC=12

7、,求点C到平面的距离CO。ACBOD作业2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2,AD=CD=,∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB’=，求△AB’C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。ABCB’DO二面角ODCBOB’作业二面角二面角