位姿描述和齐次变换

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1、第二章数学基础—齐次坐标和齐次变换机器人运动学1第二章数学基础—齐次坐标和齐次变换机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题。机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系。引言机械臂抓举或搬运零件.AVI2运动学研究的问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:

2、Choosetheseangles!运动学正问题运动学逆问题3丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题其数学基础即是齐次变换4第二章位姿描述和齐次变换位姿的定义：2.1、刚体位姿描述刚体参考点的位置和刚体的姿态。姿态的描述方法：齐次变换法、矢量法、旋量法、四元数法等等。一、位置的描述（位置矢量）在三维空间内，刚体有6个自由度：对于直角坐标系{A}，空间任一点p的位置可用3x1的列矢量Ap表示：5式中PX,PY,PZ是点P在坐标系

3、{A}中的三个位置坐标分量,如图2-1所示。6齐次坐标表示：如用四个数组成的(4×1)列阵。表示三维空间直角坐标系{A}中点p,则列阵[PxPyPz1]T称为三维空间点P的齐次坐标。7必须注意,齐次坐标的表示不是唯一的。我们将其各元素同乘一非零因子w后,仍然代表同一点P,即:式中：a=wpx;b=wpy;c=wpz8二、方位的描述（旋转矩阵）2.1、刚体位姿描述(续)9三、位姿的描述（固接坐标系）2.1、刚体位姿描述(续)旋转矢量位置矢量机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态,则这个刚体在空间上是完全确定的。10四、手爪坐标系2

4、.1、刚体位姿描述(续)机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示,如图2-6所示。坐标系{B}可以这样来确定:取手部的中心点为原点OB:关节轴为ZB轴,ZB轴的单位方向矢量O称为接近矢量,指向朝外;二手指的连线为yB后轴,yB轴的单位方向矢量称为姿态矢量,指向可任意选定,xB轴与yB后铀及ZB轴垂直,X后轴的单位方向矢量n为法向矢量,且n=o×a,指向符合右手法则。11描述的是：空间任一点p在不同坐标系中表示方法的一种联系。即：已知两坐标系{A}、{B}之间的关系，空间任一点p在{A}中坐标表示，求p在{B}中的坐标表示？2.2、坐标变换一、坐

5、标平移{B}坐标系的原点在{A}坐标系中的坐标122.2、坐标变换(续)二、坐标旋转132.2、坐标变换(续)三、一般变换142.2、坐标变换(续)152.3、齐次坐标和齐次变换4X4的方阵坐标{B}相对于{A}的旋转矩阵（3X3）坐标{B}的原点在{A}坐标系中的坐标。（3X1）标示符，“1”位置；“0”方向162.3、齐次坐标和齐次变换(续)172.3、齐次坐标和齐次变换(续)平移变换矩阵旋转变换矩阵表示绕过坐标原点的轴k旋转θ角度。“左乘”的概念！！182.4、齐次变换矩阵的运算一、变换矩阵相乘192.4、齐次变换矩阵的运算(续)二、变换矩阵求逆方式1：方式2：2

6、02.4、齐次变换矩阵的运算(续)212.4、齐次变换矩阵的运算(续)2223刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。例题：下图中的物体可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果该物体在基坐标系中先绕z轴旋转90°，再绕y轴旋转90°，再沿x轴平移4，求物体6个顶点的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1y1z1选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点

7、，其初始坐标轴x1y1z1方向与xyz坐标系相同。变换后刚体的位姿为：24齐次坐标变换第二章机器人运动学xyzoo1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1z1y1x1o1xyzoz1y125Robotics数学基础思考题:将图(a)变换到(b)，求变换矩阵T?26Robotics数学基础习题:2.9解一27Robotics数学基础习题:2.9解一28Robotics数学基础习题:2.9解一29Robotics数学基础习题:2.9解一30Robotics数学基础习题:2.9解一31Robotics数学基础习题:2.9解一32Robot