几类经典的递推数列

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1、列的通项公式数列通项的常用方法(1)利用观察法求数列的通项．几类经典的递推数列1．应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项2．构造等差、等比数列求通项1．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3等于()A.94B.32C.259D.25162．若数列{an}的前n和Sn＝3n＋a，那么要使{an}为等比数列，则实数a的值是()A．RC．－1B．0D．不存在AC3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则an=___.2n131224．已知{an}为等比数列，a2＝2，a6＝162，则a10＝___

2、___.6．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1，则a3＝____.158应用迭加(迭乘、迭代)法求通项例1：(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＝an-1＋2n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式；(2)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·an，求数列{an}的通项公式．【互动探究】应用通项求参数例2：若数列{an}中，an＝2n＋3n，且数列{an+1－pan}为等比数列，则p的值.【互动探究】2．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(

3、n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上．求数列{an}的通项公式．解：∵f(x)＝ax2＋bx(b≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7，得：a＝－1，b＝7，所以f(x)＝－x2+7.又∵点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，立．(2)利用＝a1a3得关于p的方程求出p后，再证明数列{an}是等比数列．若数列{an}是等差数列，也有类似的结论．递推关系形如“an+1＝pan＋q”的数列求通项【互动探究】递推关系形如“an+1＝pan＋f(n)”的数列求通项2．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an－3n＋

4、1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)设数列{an}的前n项和Sn，求Sn+1－4Sn的最大值．递推关系形如“an+1＝p·an＋An＋B”可用待定系数法求解．递推关系形如“an+1＝pan＋qn”的数列求通项例3：已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式．解题思路：适当变形转化为可求和的数列．【互动探究】n·2n－1递推关系形如“an+2＝pan+1＋qan”的数列求通项解题思路：用待定系数法或特征根法求解．递推关系形如“an+2＝p·an+1＋q·an”，通过适当变形转化为可求和的数列．【互动

5、探究】错源：对算法终止条件判断不准确例5：按下列程序框图如图9－6－1运算：图9－6－1规定：程序运行到“判断结果是否大于2008”为1次运算．若x＝2，输出的结果是多少？有多少次运算？解题思路：由框图可知是递推数列问题．研究相邻两项的关系．一阶线性递推公式，可以用参数法转化为第一类数列问题，也可以用除法转化为第二类数列问题．【互动探究】5．图9－6－2输出的结果是____.图9－6－263例：已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝2an+1－1.求数列{an}的通项公式．误解分析：解本题易出现的错误就是：(1)使用公式an＝Sn-Sn-1时

6、未注意n≥2的条件．(2)对等比数列概念认识不够，只要式子an+1an＝q成立，就认为是等比数列．(3)数列{an}的首项为a2时，仍然认为an是第n项．【互动探究】【互动探究】求数列的通项公式常用的递推关系有：(1)形如f(Sn，an，n)＝0的递推关系，利用退一相减法，即