数值分析总结_范数、迭代、逼近、数值微积分重点讲义

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1、《数值分析》期末总结考试题型一、填空题其目的是考核同学们对数值分析中基本概念、基本定理的理解；主要考核内容为基本概念、基本定理、定理或算法应用条件等内容例如：误差配置原则中的内容；收敛条件等二、计算题需要掌握算法的内容、应用条件、误差分析等内容。计算过程可以使用计算器，但是要求同学要具备计算熟练性2021/7/142第一章数值计算中的误差1误差(1)绝对误差(限)、相对误差(限)(2)有效数字2算术运算中的误差加法(减法)、乘法3误差的来源与分类(舍入误差和截断误差)4误差分配原则与处理方法2021/7/1431.1绝对误差与相对误差绝对误差设A是精确值，a是

2、近似值，则定义两者之差=a-A为近似数a的绝对误差绝对误差限

3、

4、=

5、a-A

6、<(上界)，称为绝对误差限相对误差绝对误差与精确值之比A=/A为相对误差相对误差限

7、A

8、=

9、/A

10、<η(上界)，称为相对误差限绝对误差和相对误差有关系：=aA2021/7/1441.2有效数字舍入方法将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法截断法四舍五入法四舍五入法的

11、Δ

12、≤0.5x10-n，在a的最末一位上有半个单位误差实际应用中按四舍五入的原则取近似值是使用最广的取近似值的方法。用四舍五入获得的近似值，可用有效数字来刻画2021/7/14

13、51.2有效数字如果近似数a的绝对误差是某一位的半个单位，且该位直到a的第一位非零数字一共有n位，则称近似数a有n位有效数字，a为具有n位有效数字的有效数。x*=……最左边不为零的数误差不超过该位数的半个单位n个有效数字例如：表示：近似值0.003400准确到小数点后第5位，有3位有效数字。绝对误差限、相对误差限和有效数字的关系2021/7/1462.算术运算中的误差要求明确数据误差在算术运算中的传播规律并对结果误差进行估计估计方法设x为x*的近似值，y为y*的近似值，则Δx=x-x*,Δy=y-y*。实际中常取误差的主部,采用微分方式表达，即dx≈Δx

14、,dy≈Δy，对于算术运算中的结果误差可按微分公式近似估算2021/7/1472.算术运算中的误差加减的绝对误差限等于各数的绝对误差限之和C=xydC

15、dxdy

16、

17、dx

18、+

19、dy

20、x+y,乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和，其相对误差限等于各乘数相对误差限之和2021/7/148模型误差观测误差截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似的方法，那么得到的是数学模型的近似解，由此产生的误差称为截断误差。舍入误差由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差。这种误差称舍入误差或者计算误差。3误差的来源与分类2

21、021/7/1494误差的分配原则与处理方法误差配置原则计算模型的近似解相对于参数模型精确解的总误差=截断误差+舍入误差,即=R+R误差的处理方法1.给定运算误差，确定参与运算的数值字长2.近似式的项数已定而字长待定3.总误差给定，要求确定项数和数值字长.4.数值字长已定，待定近似式项数=R+R2021/7/1410第二章方程(组)的迭代解法1.根的初值确定方法2.迭代解法(1)迭代法的计算步骤(2)迭代解法的几何意义(3)迭代法的收敛性（φ’(x)

22、q<1）3.迭代公式的改进（减小q的值）：(1)埃特肯法(2)牛顿迭代法(3)牛顿下山法(

23、4)弦截法2021/7/14111.根的初值确定方法迭代法求解非线性方程或非线性方程组较为有效的方法，它是递归的应用某一计算公式来决定未知量，并使之逐步逼近真解的一种方法求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。定理2.1设f(x)为区间[a,b]上的单值连续函数，如果f(a)·f(b)<0，则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根确定根所在区间的方法：(1)画图法：f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式，1(x)与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间为含根区间(2)扫描

24、法(3)对分法2021/7/14122.迭代解法迭代法的计算步骤归纳如下：(1)选取初值x0，(画图法、扫描法、对分法)(2)确定方程f(x)=0的等价形式x=φ(x),判断收敛性

25、φ’(x)

26、q<1(3)按公式xn+1=φ(xn)计算xn+1的值(4)迭代终止判断.如果

27、xn+1-xn

28、<则停止计算，否则继续迭代收敛条件定理2.2：

29、φ’(x)

30、q<1是迭代序列收敛的充分条件在实际应用时，可用

31、φ’(x0)

32、q<1收敛速度

33、φ’(x)

34、误差估计及迭代过程终止的条件2021/7/14133.迭代公式的改进(1)埃特肯法2021/7/1414(2)牛顿迭代

35、法(3)判断如果

36、xn+