浅谈数值逼近

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1、浅谈数值逼近摘要：木文简耍的谈论了数值逼近思想中的极限思想，二分逼近思想及逐次逼近思想，同时说明了它在生活中的一些运用.关键词：数值逼近；极限；二分逼近；逐次逼近引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法，它不完全等同于近似，它是一个过程•它遵循着这样一个简朴实用的原则：以简御繁以“已知”去研讨“未知”•逼近无论在理论上还是在实践屮都有重要的意义•但逼近的思想和方法在某些方面还没达到成熟，一些领域如倒数逼近尚需进一步的探索.在此，我对逼近理论中一些较成熟的方法及其运用做了一个初步的探索.作为一个分析论证方法，逼近法是简朴实用原

2、则的具体化、数量化.他的应用是广泛而多样的•现在来介绍它在数值逼近方面的一些运用.1:数值逼近思想在极限中的运用定义一:当n趋于a时，若％逼近于一个定数a,则｛%｝的极限等于a.数列｛%｝以a为极限，其意即为用吗卫2,……J……去逐步逼近常数比下面介绍一个典型的由两侧逼近求数列极限的例子.例1：(两边加逼定理)设lim/(%)=limg(x)=A,JI在某U°(x0;t/')有f(x)Wh(x)Wg(x)(1.1)则lim/2(x)=A.证明：按假设，ne>0,分别$正数4和％,s.t.当0<

3、xf

4、<4时有从e

5、(1.2)当0<

6、x-x0

7、<^时有gS)vA+e(13)令d=min{d，4，d2},则当0v

8、兀.1

9、/?(%)-A

10、

11、一个始终保持P的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列，将具有性质P的实数“夹逼”出來，而实数的连续性则确保了此数的存在，使这种逼近不至于“逼”空・现将二分逼近法典型证明方式说明于K：2.1确定一个闭区间［£,即使其具有某一性质Pl（P*由性质P而定）2.2将［绻即等分成［绻化釦与［上邑，即，则至少有一个区间保持性质Q将保持P的区间定为［A2,B2］,2.3逐次二等分得到闭区间列｛［%,乞］｝,则所有的闭区间都具有性质盯，且£#人……叽……啊……#B2B「（亦可写成（［人即缮④坊］［出角］缮……［AM……

12、）从而得到左右夹逼数列｛AJ与｛B,”｝满足lim（Bffl-Affl）=lim丄£）=0也加22.4由实数的连续性得到实数k,属于所有的闭区间，数k满足2.4.1具有性质P.这是由于k属于所有的闭区间，被｛%｝与｛B,”｝左右夹逼,不妨形象地表示为:九kBQ）•因而,k的任意小的邻域内伙・e9k+e）都包含足够大），于是仗・e,k+e）具冇性质厂，故k具有性质P.2.4.2k是唯一的.事实上，若k不唯一，设k】且满足A,”kBm（m），则对任何m,kvg”F>九，得到—F?BmA”，Wlim（Bw-AJ=0,故k=k即唯

13、一.m以卜•我们通过实例证明一为体会二分逼近法的思想及应用.例3：设在［a,b］上连续的单调递增函数f(x)满足f(a)b,则存在cl(a,b),使f(c)=c.A+B证明：令a=b=B｝,将二等分，分点,若f(A±A)=A±A?piij命题结论成立.否则，若f(A二生)旦，则取［4±A,b严厲廻］,222若f(A±A)如当l，则取［九：乞,b”」=s”,b”］.Aa-DA4

14、-RA+/?若f(亠严)v亠严侧取［尙,亠严］=s卄乞+J.从而得到两个夹逼数列｛AJ与｛BJ满足：(2.1)A#A2……#Am……#Bm……#B2坊且lim(Bwl-九)=0・m(2.2)f(九)>九找乞)<乞.于是口J知，存在实数c使九cBm(rn)由于f(x)单增，所以f(九)£f(c)£f(BjEP：A”4”,f(Bm)<氏，从而得到夹逼数列｛%｝与｛

15、®｝•将c“逼出”.在不同问题的论证屮性质P与相应的”是具体的，不同的，必须紧扣实际加以明确，这是正确应用二分逼近法的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具，是逼近法的最简明的形式Z—，它在生活中有着非常广泛的运用，卜•面來看一个简单的实例，以体会二分逼近法给我们的生活带来