数理方程第3讲

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1、数学物理方程第3讲第三章行波法与积分变换法§3.1一维波动方程的达朗贝尔公式对于一维波动方程作如下代换:同理有将(3.3)及(3.4)代入(3.1)得将(3.5)式对h积分得f(x)是x的任意可微函数再将此式对x积分得其中f1,f2为任意二次连续可微函数.这是通解讨论无限长弦的自由横振动.设弦的初始状态为已知,即已知定解条件将(3.6)中的函数代入(3.7)中,得对(3.9)两端对x积分一次,得由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中,即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为此式称为无限长弦自由振

2、动的达朗贝尔公式.现在讨论解的意义,在公式u(x,t)=f1(x+at)+f2(x-at)(3.6)中,先考虑函数u2=f2(x-at),在t=0时,u2(x,0)=f2(x),对应于初始时刻的振动状态,而经过时刻t0后,u2(x,t0)=f2(x-at0),在(x,u)平面上,它相当于原来的图形u2=f2(x)向右平移了一段距离,如图所示:uxu2=f2(x)(t=0)u2=f2(x-at0)(t=t0)x1x2x1+at0x2+at0所以,u2=f2(x-at)表示一个速度a沿x正轴方向传播的行波,称为右行波.同样道理,u1=f1(x+at)就表示一个速度a沿x轴

3、负方向传播的行波,称为左行波.达朗贝尔公式表明,弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去,其传播速度正好是弦振动方程中的常数a.基于上述原因,所以本节所用的方法就称为行波法从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出,解在(x,t)点的数值仅依赖于x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件,而与其他点上的初始条件无关.区间[x-at,x+at]称为点(x,t)的依赖区间.它是由过(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所截得的区间.txx-atx+at(x,t)O依赖区间对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2],过x1点作斜率为1/a的直线x=x1+at,

4、过x2点作斜率为-1/a的直线x=x2-at,它们和区间[x1,x2]一起构成一个三角形区域,解在其中的数值完全由[x1,x2]上的初始条件决定,称为[x1,x2]的决定区域.txx1x2x=x1+atO决定区域x=x2-at若过点x1,x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at,在t=0时刻初始扰动在(x1,x2)内变动.则经过时间t后该扰动传到的范围由不等式x1-atxx2+at(t>0).决定.在此区域之外的波动则不受影响,称此区域为[x1,x2]的影响区域.txx1x2x=x2+atO影响区域x=x1-at从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率为1/

5、a的两族直线xat=常数,对一维波动方程(3.1)的研究起着重要的作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线.因为在特征线x-at=C2上,右行波u2=f2(x-at)的振幅取常数值f2(C2),在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),txOx2+at=C1x-at=C2且这两个数值随特征线的移动(即常数Ci(i=1,2)的改变)而改变,所以,波动实际上是沿特征线传播的.变换(3.2)常称为特征变换,行波法又称为特征线法.注容易看出,一维波动方程(3.1)的两族特征线xat=常数,正好是常微分方程(dx)2-a2(dt)2=0的积分曲线,这个常微分方程

6、称为(3.1)的特征方程.对于更一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0(3.13)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(3.12)的特征(曲)线.二阶线性偏微分方程的特征线仅与该方程中的二阶导数项的系数有关,而与其低阶项的系数是无关的.它的特征方程为A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0(3.13)并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都有两族实的特征线.例如,若在某一区域内B2-AC<0,则过此域内每一点都不存在实的特征线;若在某域内,B2-AC=0,则过此域内每一点仅有一条实的特征线;只有在B2-AC>0的

7、域内,过其中每一点才有两条相异实的特征线.它的特征方程为A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0(3.13)若在某域内B2-AC<0,则在此域内称(3.12)为椭圆型方程,拉普拉斯方程及泊松方程均属于椭圆型;若在某域内B2-AC=0,则在此域内称(3.12)为抛物型方程,热传导方程属于抛物型;若在某域内B2-AC>0,则在此域内称(3.12)为双曲线方程,波动方程属于双曲线型.例求下列柯西问题:的解.解先确定所给方程的特征线.为此,写出它的特征方程(dy)2-2dxdy-3(dx)2=0(dy)2-2dxdy-3(dx)2=0它的两族积分曲线为3