数理方程第2讲.ppt

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1、数学物理方程第2讲第二章分离变量法§2.1有界弦的自由振动在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经常能够展开成级数.例如,幂级数的形式就是:f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+其中无穷多个函数v0(x)=1,v1(x)=x,v2(x)=x2,,等等,构成了级数展开的一个函数系.而三角级数的形式就是f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x+b2cos2x+其中的无穷多个函数1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,也构成了级数展开的一个函数系.因此,一般而言,一个函数f(x)能够在一个函数系v0

2、(x),v1(x),v2(x),…下展开成级数的形式为f(x)=a0v0(x)+a1v1(x)+a2v2(x)+那么,一个二元函数u(x,t),将t固定住视为常数,看作x的函数,则也能够在函数系v0,v1,v2,…下展开成级数的形式u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+其中的每一项都是两个一元函数的乘积ai(t)vi(x),这样构成的二元函数我们称之为可分离变量的.而如果级数中的每一项都是线性偏微分方程的解,则此级数也就是线性偏微分方程的解.讨论两端固定的弦自由振动的定解问题:设u(x,t)=

3、X(x)T(t)则代入方程(2.1)得X(x)T''(t)=a2X''(x)T(t)或此式左端仅是x的函数,右端仅是t的函数,一般情况不可能相等,除非它们均为常数,令此常数为-l,则有这样可以得到两个常微分方程:再利用边界条件(2.2),由于u(x,t)=X(x)T(t),X(0)T(t)=0,X(l)T(t)=0.但T(t)0,如果T(t)=0,这种解称为平凡解,所以X(0)=X(l)=0(2.6)因此,要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离形式的解,就先要求解下列常微分方程的边值问题要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2

4、.6)的非零解,又要求出这个非零解X(x).这样的问题称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值问题,使问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问题的特征值,相应的非零解X(x)称为它的特征函数.下面分l<0,l=0和l>0三种情况来讨论,将得出结论l<0和l=0不能成立.而方程X''(x)+lX(x)=0的特征方程为r2+l=0当l<0时,特征根为方程的通解为当l=0时,特征根为0.方程的通解为X(x)=Ax+B当l>0时,特征根为方程的通解为1º设l<0,此时方程(2.5)的通解为由条件(2.6)得解出A,B得A=B=0

5、即X(x)0,不符合非零解的要求,因此l不能小于零.2º设l=0,此时方程(2.5)的通解为X(x)=Ax+B,由条件(2.6)还是得A=B=0,所以l也不能等于零设l>0,并令l=b2,b为非零常数.此时方程(2.5)的通解为X(x)=Acosbx+Bsinbx,由条件(2.6)得A=0Bsinbl=0由于B不能为零,所以sinbl=0,即从而(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数为:将上式中的特征值代入到(2.4)得其通解为:因此可分离变量的方程的特解为其中是任意常数.为满足初始条件(2.3),求出原问题的解,将(2.

6、10)中所有函数un(x,t)叠加起来:将初始条件(2.3)代入上式得:复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数:如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数,则有其中系数bn为:解：令u(x,t)=X(x)T(t)是齐次方程和齐次边界条件的非零解,则有方程的特解为这时l=10,并给定a2=10000.这个问题的傅里叶级数形式解可由(2.11)给出.其系数按(2.12)式为Dn=0,因此,所求的解为解题中常用到的积分表的内容:分析一下级数形式解(2.11)的物理意义.先固定t,看看任意指定时刻波是什么形状;再固定x,看该点的振动规律.(2.11)

7、中的一项:其中某一时刻n=1,2,3的驻波形状xOulxOulxOuln=1n=2n=3综合上述,可知u1(x,t),u2(x,t),…,un(x,t),…是一系列驻波,它们的频率,位相与振幅都随n不同而不同.因此一维波动方程用分离变量法解出的结果u(x,t)是由一系列驻波叠加而成的,而每一个驻波的波形由特征函数确定,它的频率由特征值确定.这完全符合实际情况.因为人们在考察弦的振动时,就发现许多驻波,它们的叠加又可以构成各种各样的波形,因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景,所以分离变量法也称为驻波法

8、.§2.2有限长杆上的热传导设有一均匀细杆,长为l,两端点的坐标为x=0与x=l,杆的侧面是绝热的,且在端点x=0处温度是零摄氏度,而在另一端x=l处杆的热量自由发散到周围温度地零度的介质中去