1.1_排列与逆序

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1、线性代数扬州大学物理与科学学院1线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中,线性代数的理论已被泛化为算子理论。另外，对于科学研究中的非线性模型，在一定条件下通常可以被近似为线性模型，这使得线性代数在处理实际问题(物理、生命、化学、社科)时也被广泛采用。2第一章行列式§1·1排列与逆序§1·2n阶行列式的定义§1·3行列式的性质§1·4行列式按行（列）展开§1·5Cramer法则第二

2、章矩阵§2·1矩阵的概念§2·2矩阵的运算§2·3几种特殊的矩阵§2·4分块矩阵§2·5逆矩阵§2·6矩阵的初等变换3第三章消元法§3·1消元法解线性方程组§3·2n维向量§3·3向量组的秩§3·4矩阵的秩§3·5线性方程组解的一般理论第四章向量空间、矩阵的特征值与特征向量§4·1向量空间§4·2向量的内积§4·3正交矩阵§4·4矩阵的特征值和特征向量4第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准型§5.3二次型规范型§5.4正定二次型5第一章行列式§1·1排列与逆序§1·2n阶行列式的定义§1

3、·3行列式的性质§1·4行列式按行(列)展开§1·5Cramer法则6§1·1排列与逆序例、用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：123132213231312321总数=6(个)=3！(个)三级排列排列：由自然数1、2、3、4、…、n组成的一个有序数组称为一个n级排列，简称为排列。自然排列：n级排列123…n称为自然排列。7214132431314不是排列不是排列不是排列n级排列的三要素：(2)n个数中不能有重复数;(3)不能有大于n的数。543215级排列31424级排列

4、(1)由n个自然数组成;n级排列的总数=n!个例：8124313421324解：4级排列的总数＝4!=24个例、由1、2、3、4这四个数可构成四级排列。1234142314239排列的表示：｛j1j2j3…jn｝———所有n级排列例如：｛j1j2j3｝表示所有3级排列当j1=3、j2=1、j3=2时，j1j2j3代表三级排列312当j1=2、j2=3、j3=1时，j1j2j3代表三级排列231j1j2j3…jn———表示一个n级排列10逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小顺序相反(即

5、排在前面的数大于排在后面的数)，则称这两个数构成排列的一个逆序。即：对n级排列j1j2…ji…jk…jn,若ji>jk，则称ji与jk构成一个逆序，记为jijk。例：在三级排列312中,逆序：31、32；在四级排列4231中，逆序：42、21、31…11【例1】写出下列排列的逆序。（1）3241逆序：32、31、21、41（2）52341逆序：52、53、54、51、21、31、41（3）1234567逆序：无12逆序数:一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆序数,记为:(j1,j2,……,jn)例

6、如:（3）1234567逆序:无（1）3241逆序：32、31、21、41,（2）52341逆序：52、53、54、51、21、31、41逆序数的计算方法:(j1,j2,……,jn)=j1后面比j1小的数的个数+j2后面比j2小的数的个数+…+jn-1后面比jn-1小的数的个数。13【例2】求排列的逆序数解:排列奇排列偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列利用逆序数的性质对排列分类：14当k=4n时，=2n(4n-1)为偶数当k=4n+1时，=2n(4n+1)为偶数当k

7、=4n+2时，=(2n+1)(4n+1)为奇数当k=4n+3时，=(2n+1)(4n+3)为奇数【例3】判断排列135…（2k-1）246…（2k）的奇偶性解:因此:当k=4n或k=4n+1时，该排列为偶排列；当k=4n+2或k=4n+3时，该排列为奇排列。15而相邻两个数的对换称为相邻对换。（3,5）例如:2315425134（3,1）2315421354相邻对换对换操作：在一个n级排列j1j2…ji…jk…jn中，若仅将其中两个数ji、jk对调，其余不动，可得一个新的排列j1j2…jk…ji

8、…jn，对排列所施行的这样一次对调称为一个对换，记为(ji,jk)。16定理1：一次对换改变排列的奇偶性即：则:奇偶性不同与若17设若:ji>jk,若:ji＜jk，证明：先证ji、jk为相邻两个数时结论成立设:与奇偶性不同显然：18再证ji、jk为任两个数时结论成立设：先将ji依次与ji+1、ji+2、…ji+m做相邻对换，得排列:j1j2…ji–1ji+1…ji+mjijkjk+1…jn再将jk依次与ji、ji+m…ji+1做相邻对换,得排列:j1j2…ji–1jk