[传热学]第4章-导热问题的数值解法

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1、第四章　导热问题的数值解法§4-1　导热问题数值求解基本思想及内节点离散方程的建立§4-2　边界节点离散方程的建立及代数方程的求解1、重点内容：①掌握导热问题数值解法的基本思路；②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。2、掌握内容：数值解法的实质。3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。分析解法的优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响但是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的形状或边界条件，无法得出其分析解数值计算方法—有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法求解

2、导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主要有以下几种：（1）有限差分法（2）有限元方法（3）边界元方法分析解法与数值解法的异同点：•相同点：根本目的是相同的，即确定①t=f(x，y，z)；②。•不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。•数值解法的实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导

3、热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。§4-1导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否物理问题的数值求解过程1二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题2例题条件（a）（b）xynm(m,n)MN3基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内

4、稳态无内热源，常物性的导热问题如图（a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：（1）建立控制方程及定解条件针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（2）区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点(结点)，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。相邻两节点间的距离称步长。如图(b)所示。（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下：•首先划分各节点的类型；•其次，建立节点离

5、散方程；•最后，代数方程组的形成。对节点(m,n)的代数方程，当△x=△y时，有：（4）设立迭代初场代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。（5）求解代数方程组求解时遇到的问题：①线性；②非线性；③收敛性等。如图（b），除m=1的左边界上各节点的温度已知外，其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方程，则构成一个封闭的代数方程组。1）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；2）非

6、线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不断更新。3）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。（6）解的分析通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。4建立离散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）级数展开法；(2)多项式拟合法；(3)控制容积积分法；(4)控制容积平衡法(也称为热平衡法)(1)泰勒级数展开法根据泰勒级数

7、展开式，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j将上两式相加可得将上式改写成的表达式，有同样可得：表示未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2根据导热问题的控制方程(导热微分方程)若△x=△y则有得(2)控制容积平衡法(热平衡法)基本思想：是傅里叶导热定律和能量守恒定律的体现。对每个元体，可用傅里叶导热定律写出其能量守恒的表达式。如图所示，从节点(m-1,n)通过界面w传导到节点(m,n)的热流量：同理：通过界面e,n,s传导给节点（m,n）的热流量也

8、可求得（省略）对元体(m,n).根据能量守恒定律可知：其中，规定：