传热学第四章－导热问题的数值解法－

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1、2.节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程代数方程组的求解方法：直接解法和迭代解法4-2边界节点离散方程的建立及代数方程的求解直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-

2、赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第k次迭代的数值可以求得节点温度：判断迭代是否收敛的准则：k及k+1表示迭代次数；—第k次迭代得到的最大值当有接近于零的t时，第三个较好4-3非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅与空间坐标有关，还与时间有关。本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程的稳定性条件。1.节点离散方程的建立：x(1)内部节点xi-

3、1ii+1相邻节点导入控制单元体的热流量=单元体内能量增量整理，得：x(2)边界节点xi+1相邻节点导入控制体的热流量+边界表面对控制体的传热量=边界单元体内能量增量整理，得：22.节点方程组的求解：步骤：1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网格，并将节点按位置编号。2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差分方程，并检查是否符合稳定性条件。3）从初始条件出发，逐点计算时刻各节点的温度，然后再逐点计算时刻各节点的温度，直到指定时刻为止。3.差分格式的稳定性：当系数为负值时，k时刻节点温度越高，则下一个(k+1)时刻的温度却

4、越低，这是不可能的，因为违背了热力学第二定律。此时差分格式是不稳定的。01234567010010010010060148-109.655011001001008010419.2220.2-328.92100100808463.291.40.92203100806467.250.673.10.72176itn差分格式的稳定性条件：各个节点差分方程的各项的系数必须大于等于零。思考题：1.节点的概念.2.向前差分,先后差分,中心差分的概念.3.利用能量守恒定律和傅立叶定律,推导内点和边界.点离散方程的基本方法.4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起,

5、不计接触热阻,如何推导接触面上节点离散方程.5.显式差分方程及稳定性判据.6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别.作业：4-10；4-15习题课（1）第一、二、三章思考题讲解；（2）第一、二、三章作业习题讲解；