动点产生的等腰三角形

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1、中考问题之-因动点产生的等腰三角形【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题.这个动点可以在x轴、y轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度.等腰三角形的题目范围较广，题型很多.数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.这部分考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右.【策略分级细述】1.怎样设动点的坐标（1）若动点在x轴上，

2、因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，始终等于0，所以可设动点坐标为（x，0）；若动点在y轴上，横坐标x没有变化，始终等于0，纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为（0，y）.（2）若动点在函数y＝f(x)上，则横坐标设为x，纵坐标设为f(x).例如，点A在反比例函数y＝的图像上，设A（x，y），因为y＝，所以用来代替y，这种情况一般就直接设A（x，）；又如：点B在一次函数y＝2x─上，直接设B（x，2x─）.2.等腰三角形要分类讨论如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB=AC；AB=BC；BC=AC，所以要分类进行讨论.图1

3、-2图1-3图1-13.坐标系中三角形边长的表示如图1-2，若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）则AB两点间的距离公式为：AB=.用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA=，OB=.然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可.我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.9例1.如图1-3，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=图像上的点A、B的坐标分别为（2，m）、（n，2），点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标.分析：1.反比例函数y=图像上的A、B点，满足这

4、个解析式，所以把A、B点的坐标分别代入，求出这两个点的坐标.2.如图1-4，点C在x轴上，所以设C（x，0）.3.为了方便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB，BC，CA的长度写出来.4.根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB=AC；AB=BC；BC=AC进行讨论.解：因为A（2，m）、B（n，2）在y＝上，所以m＝，2＝，解得：m＝4,n＝4，所以A（2，4）、B（4，2）.因为点C在x轴上，所以设C（x，0），则AB＝＝2，AC＝＝，BC＝＝.若△ABC为等腰三角形，分三种情况讨论：①AB＝AC，即＝2，整理得x2─4x＋1

5、2＝0，因为△＜0，所以方程无实数根，这种情况不存在.②AB＝BC，即＝2，整理得x2─8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6，所以C（2，0）（如图1-4）；C（6，0）（因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去）.③BC＝AC，即＝，解得：x＝0，所以C（0，0）（如图1-6）.所以这样的点C有两个，C（2，0）或（0，0）.图1-6图1-5图1-4例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y轴上的点构成的等腰三角形的问题

6、.9图1-7例1.如图1-7，点A（m，2）是正比例函数和反比例函数的交点，AB⊥y轴于点B，OB=2AB.（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标；（3）在y轴上是否存在一点D，使△ACD为等腰三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.分析：1.从点A（m，2），AB⊥y轴可得：OB＝2，因为OB＝2AB，所以AB＝1，所以A（1，2）把A点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得（1）.2.一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个

7、方程组得到的x，y就是它们的交点坐标.但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C点坐标.3.因为点D在y轴上，设出D点坐标，按照等腰三角形存在的三种情况：AC=AD，AC=CD，AD=CD，进行分类讨论.解：（1）因为AB⊥y轴于点B，OB＝2AB，点A（m，2）所以OB＝2，AB＝1，所以A（1，2），因为A（1，2）在y＝kx（k≠0)上，所以k＝2，所以y＝2x.又因为A（1，2）在y＝（k≠0)上，所以k＝2，所以y＝.（2）因为A（1，2），正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C（─

8、1，─2）.（3）存在.因为点D在y轴上，所以设D（0，y），则AC＝＝2，AD＝，CD＝若△ACD为等腰三角形，分三种情况讨论：①AC＝AD，即2＝，整理得y2─4y─15＝0