【提升练习】《三角函数的诱导公式》（数学人教版必修4）

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1、《三角函数的诱导公式》提升练习成都二十中谢波老师1．若cos(α－π)＝－，求的值．2．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.3．化简：(其中k∈Z)．4．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．5．已知角的终边经过点P（,），（1）、求cos的值；（2）、求的值．6．求证：＝－tanα.7．已知sin·cos＝，且<α<，求sinα与cosα的值．8．化简：sin＋cos(k∈Z)．9．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存

2、在，说明理由．10.是否存在角α、β，α∈(-,)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.答案与解析1．解　原式＝＝＝＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝，sinα＝＝，∴tanα＝＝，∴原式＝－.当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，∴原式＝.综上，原式＝±.2．证明　∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，∴

3、α＝2kπ＋－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．3．解　当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝＝＝＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝＝＝＝－1.∴上式的值为－1.4．解　由条件得sinA＝sinB，cosA＝cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±，又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.当A＝π时，cosB＝－<0，∴B∈，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝，c

4、osB＝，∴B＝，∴C＝π.5.（1）；（2）试题分析：（1）由题角的终边经过点P（,），可回到三角函数的定义求出cos（2）由题需先对式子用诱导公式进行化简，可运用商数关系统一为弦，结合（1）代入得值.试题解析：（1）、,考点：1.三角函数的定义；2.三角函数的诱导公式及化切为弦的方法和求简思想.6．证明　左边＝＝＝＝＝－＝－tanα＝右边．∴原等式成立．7．解　sin＝－cosα，cos＝cos＝－sinα.∴sinα·cosα＝，即2sinα·cosα＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sinα＋cosα)2＝，②－①得(sinα－cosα)2＝，

5、又∵α∈，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，∴sinα＋cosα＝，③sinα－cosα＝，④③＋④得sinα＝，③－④得cosα＝.8．解　原式＝sin＋cos.当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则原式＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋＝sin－cos＝sin－sin＝0；当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则原式＝sin＋cos＝－sin＋cos＝－sin＋cos＝－sin＋sin＝0.综上所述，原式＝0.9．解　由条件，得①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③又因为sin2α＋sin2α＝1，④由③

6、④得sin2α＝，即sinα＝±，因为α∈，所以α＝或α＝－.当α＝时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合．当α＝－时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝，β＝满足条件．10.由已知条件得：sinα=sinβ①,cosα=-cosβ②，两式推出sinα=，因为α∈(-,)，所以α=或-；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β=，于是存在α=，β=或α=-，β=，使两等式同时成立。