复变函数的导数(I)

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1、复变函数任群北京理工大学理学院1第二章解析函数本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数.2§2-1复变函数的导数一Δ、导数的概念及其求导法则二、微分的定义及其可微的充要条件3(1)导数的定义一Δ、导数的概念及其求导法则4注意5解6解78(2)可导与连续的关系函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.910(3)求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复

2、变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略.求导公式与法则:1112由此可以看出，复变函数的导数定义与一元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样。然而，复变函数的导数要求极限存在与变量z趋于z0的方式无关,这与二元实函数的极限相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个二元实函数的导数？上节例2说明问题不是那么简单。131.可微的概念复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。复变函数可微与可导是否也具有一元实

3、变函数可微与可导的关系？二、微分的定义及其可微的充要条件14令15则且反过来可容易证明16与一元函数类似地,记172.充要条件Cauchy-Rieman简介18定理:设函数在区域D内确定，则函数在点可导的充分必要条件是：⑴与在可微．⑵在的导数为条件(*)常称为柯西—黎曼条件（C.—R.条件）．柯西——黎曼条件方程（C.—R.方程）1920推论：设。若和在的四个一阶偏导函数在点均连续并且满足C-R方程，则在点处可导。注意：1）在点可微等价于它在该点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点可微。2）一个二元实函数在某点

4、可微的充分条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。21判别可导性P33,4(3)判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪些点连续。f(z)＝zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xyf(z)在整个复平面连续C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。22Q研究在的可导性。（说明在上面定理中的可微性不可去）Q判别函数的可导点。23例1试证函数（n为自然数）在复平面上处处可导，且证用定义来证明．对于复平面上

5、的任意一点z，由导数定义有　　　　                                                   　　　　　　　　　　　　　　　                                                     　　　　　　　　　　　　　　　         于是，            在点z的导数存在且等于       ．由点z在复平面上的任意性，证得            在复平面上处处可导．函数在复平面解析．24例2设定义在复平面上，试

6、证于复平面上仅在原点可导．证　用定义来证明．若，则因所以，在点可导．25若，则有　　　　　　                                                           　　　　　　　　　　　　　　　                                           令，于是有由于上式当在过点z平行于虚轴的直线上趋于０（即）时，其极限为x，而当在过点z平行于实轴的直线上趋于０（即）时，其极限为，所以，当时，　　　　　　　　             

7、             不存在，故在点处不可导．26于复平面上仅在原点可导．可证得函数在复平面上处处不可导．该函数在复平面上是一个处处连续,但又处处不可导的函数.27用L’Hospital法则求型的极限设函数f(z)和g(z)在点z0可导且，试证等式P34,6证:说明:(1)当而时，极限为无穷大。(2)当时，可继续用L’Hospital法则求极限(3)的情形，可用把问题转化为求的极限如:281789.8.21生于法国、巴黎1857.5.23卒于法国、斯科A.L.Cauchy(柯西)简介数学分析严格化的开拓者复变

8、函数论的奠基人弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。多产的科学家(800多篇论文)，分析大师。29Riemann(黎曼)简介1826.9.17生于德国、汉诺威1866.7.20卒于意大利除博士论文外，生前发表10篇论文，遗作10多篇，对现代数学影响最大的数学家之一。开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论、解析数