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《复变函数的级数(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章复变函数的级数§1复数项级数§2复变函数项级数§3泰勒级数§4洛朗级数11.复数序列的极限极限：数列：记作2复数列收敛与实数列收敛的关系：证明3定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性。4例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.解：(1)所以5而该极限不存在，故该极限不存在。2.复数项级数表达式称为复数项级数.6前n项的和称为级数的前n项部分和.级数收敛与发散的概念例27解：复数项级数与实数项级数收敛的关系：8证明：因为根据复数列收敛定理9所以原级数发散.例3解级数收敛的必要条件：10重要结论:证明：称为条件收敛.如果收敛,称级
2、数为绝对收敛.定义：如果收敛,而不收敛的级数11绝对收敛级数的性质：证明：由于而根据实数项级数的绝对收敛性,知12而解数列是否收敛？例413例5解：级数满足必要条件,而故原级数发散。14例6故原级数收敛,且为绝对收敛.所以由正项级数的比值判别法知:因为解r<1时收敛,r>1时发散r=1时可能收敛或发散151.复变函数项级数称为复变函数项级数。称为该级数前n项的部分和.级数前n项的和§2复变函数项级数16称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那么它的和收敛：和函数：且17当时，幂级数是函数项级数的特殊情形得到的级数称为2.幂级数的定义其中C
3、n(n=0,1,2,∙∙∙∙∙∙)及z0为常数幂级数，即183.幂级数的敛散性定理：如果级数在收敛,那么当时,级数绝对收敛。Abel(阿贝尔)推论：4.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛的情况有三种:19(1)对任意的复数都收敛.由Abel定理:级数在复平面内绝对收敛.例如,级数对任意给定的z,则从某个n开始,有于是该级数对任意的实数z均收敛.该级数在复平面内绝对收敛.(2)对任意的复数(除z=z0外)都发散.20(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收敛的复数.通项nnzn不趋于零,例如,级数级数发散.由函数收敛的必要条件,由Abel定理，级数
4、在21..收敛圆收敛半径..由Abel定理的推论，级数在22在收敛圆上是收敛还是发散,要对具体级数进行具体分析.级数对于任意复数都发散时,R=0级数对于任意复数都收敛时,R=∞定义：注意：约定：5.收敛半径的计算方法23方法1(比值法)方法2(根值法)例1试求幂级数(p为正整数)的收敛半径.解=124例2级数的收敛半径，并讨论它们在收敛圆上的敛散性。解：根据比值法，三个级数都有由于令z=cosj+isinj,则25故在收敛圆周上无收敛点;故在收敛圆上处处收敛；266.幂级数的性质27则内解析.设幂级数的收敛半径为R,28解:把函数写成如下的形式:其中，a
5、与b是不相等的复常数.例3把函数表成形如的幂级数29级数收敛,且其和为z=b时，级数发散由Abel定理，级数在故级数的收敛半径为例4求级数的收敛半径与和函数.解30利用逐项积分,得:所以例7求级数的收敛半径与和函数.解31321.Taylor级数展开定理定理z0到边界上各点的最短距离为d,设f(z)在区域D内解析，z0为D内一点，时,f(z)可以展开成幂级数当其中.d§3Taylor(泰勒)级数33那么即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,且解析函数的泰勒级数唯一.泰勒展开式是唯一的说明：34函数解析的充要条件是在该点的邻域内可以展开为幂级
6、数。若f(z)在z0解析，设α为f(z)距z0最近的奇点，则35常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由Taylor展开定理直接计算系数2.函数展开为Taylor级数例如：36故有372.间接法:借助于一些已知函数的展开式,结合幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的Taylor展开式.例如：38例2分析xy-1039即将展开式两端沿C逐项积分,得解40附:常见函数的泰勒展开式4142例3解43例4解44例4解上式两边逐项求导,45例5解46例6解且47481问题的引入上节研究了如下的幂级数：对于一般的函数项级数应该可以取具有
7、负幂的：§4Laurent(洛朗)级数49负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛Laurent级数收敛50收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R51结论:.常见的特殊圆环域:...52任一幂级数，如果收敛，必在圆域内收敛，且和函数在圆域内解析。已知：如果Laurent级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆环域内解析。问题：在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数?幂级数的特征：(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。532.Laurent级数展开定理C为圆环域内绕的任称cn为Laurent系数.定理一
8、正向简单闭曲线.54证明：对于第一个积分:Rr.z..55分析：收敛极限为056
