复变函数的积分(I)

《复变函数的积分(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复变函数与积分变换主讲：王兴波教授佛山科学技术学院大学数学多媒体课件参考用书《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.52021/9/32目录第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示第五章留数及其应用第六章傅立叶变换第七章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数2021/9/33第三章复变函数的积分内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后，可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引

2、入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题．如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便．本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与的问题，格林公式等．2021/9/34第三章复变函数的积分3.1复积分的概念3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.4解析函数的高阶导数本章小结思考题2021/9/35第一节解析函数的概念一、积分的定义有

3、向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线．与曲线C反方向的曲线记为定义1：简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向．C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线．分2021/9/362021/9/37二、积分存在条件及其计算方法定理1：2021/9/38证明：注意：2021/9/39法一计算这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合2021/9/310例1．解：注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即

4、积分与路径无关，2021/9/311例2．解：综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关．2021/9/312例3．解：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．2021/9/313三、复积分的性质因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立．2021/9/314证明性质（5）：（估计不等式）2021/9/315例4．解：2021/9/316例5．证明：2021/9/317第二节柯西积分定理从上一节所举的例子来看:的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无

5、关的．由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．究竟关系如何，下面我们讨论此问题．2021/9/318一、柯西积分定理定理2：（柯西—古萨基本积分定理）柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关．2021/9/319证明：2021/9/320说明：2021/9/321定理3：证明：依柯西-古萨基本定理2021/9/322例6．解：2021/9/323二、复合闭路定理定理4：（闭路变形定理）证明：一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称闭路变形定理．2021/9/3

6、24推论：（复合闭路定理）2021/9/325例1．解：2021/9/326三、原函数与不定积分定理5：1．积分上限函数2021/9/327定理6：证明：2021/9/3282021/9/3292．原函数的概念结论：2021/9/330定理7：证明：类似于微积分学中的基本定理和牛顿——莱布尼兹公式有了定理7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中．2021/9/331例2．解：例3．解：2021/9/332第三节柯西积分公式一、柯西积分公式2021/9/3332021/9/334定理8：(柯西积分公式）

7、证明：2021/9/335说明：推论1：（平均值公式）推论2：2021/9/336例1．计算下列积分解：例2．2021/9/337证明：2021/9/338例3．计算下列积分解：2021/9/339二、最大模原理定理9：（最大模原理）这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数．这是解析函数一个非常重要的原理．推论1：推论2：说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体