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1、二、多元函数的极值和最值一、问题的提出四、小结、思考题五、作业第八节、多元函数的极值及其求法三、条件极值拉格朗日乘数法子的果汁，实例：如果本地牌子的每瓶卖元，瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌每天的利润为求最大利润即为求二元函数的最大值.一、问题的提出大利润？店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最计,店主估外地牌子每瓶进价1.2元，瓶进价1元，本地牌子每外地牌子的每瓶外地牌子的果汁,问：某商店卖两种牌子的果汁，播放二、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。对于该邻域内异于的任何点都有设函数的定义域为为
2、的内点。的某邻域若存在使得则称函数在点有极大值称为函数点的极大值点；若对于该邻域内异于的任何点都有则称函数在点有极小值.称为函数点的极小值点。极大值、例1例３函数在处无极值。例２函数在处有极大值。函数在处有极小值。以上二元函数的极值概念，可以推广到元函数。设元函数的定义域为为的内点,的某邻域若存在于的任何点都有使得对于该邻域内异（或），则称函数在点有极大值（或极小值）定理1（必要条件）在点),(00yx处有极值，2、多元函数取得极值的条件证设函数在点),(00yx具有偏导数，且则都有,故当时，有说明一元函数在处有极大值,必有类似地可证推广具有偏导数，
3、有极值的必要则它在条件为在点如果三元函数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：定理2（充分条件）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，在点设函数例如,点是函数的驻点，但不是极值点。均称为函数的驻点.又令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论．注：若对称矩阵为正定矩阵，即则函数在点处取极小值，即二次型若对称矩阵为负定矩阵，即则函数在点处取极大值，即二次型若则二次型是变号的。例4求函数的极值
4、。解求驻点，令得三个驻点又在点处，所以不是极值;在点处，和所以在点和和处取得极大值解例5求由方程确定的函数的极值。当时，当时，故求函数极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值3、多元函数的最值若函数在有界闭区域上连续，在上必能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点也可能在的边界上。通常假设：有限个驻点，函数在内可微分且只有此时若函数在的内部取得最大值来求多元函数的最大值和最小值.则的内部，既可能在极大值（极小值）。因此在上述假设下，（最小值），则这个最大值（最小值）也
5、是函数的求多元函数最值的一般方法：边界上的最大值和最小值相互比较，为最大值，最小者即为最小值.在通常遇到的实际问题中，性质，的内部取得，点就是函数在内取得最大值(最小值)的点.而函数在内只有一个驻点，将函数在内的所有驻点处的函数值及在的其中最大者即如果根据实际问题的的最大值（最小值）一定在知道函数则该驻解如图,例6求二元函数在直线轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.先求函数在内的驻点，比较后可知:为最大值，为最小值.解由例7求的最大值和最小值.无条件极值：并无其他条件.对自变量除了限制在定义域内外,小王有200元钱，他决定用来购买两购买张磁盘，盒
6、录音磁带达到最佳效果，问题的实质：求在条件三、条件极值拉格朗日乘数法达到最佳效果．8元，每盒磁带10元，设每张磁盘效果函数为设他计算机磁盘和录音磁带，种急需物品：实例：问他如何分配这200元以下的极值点．1.可将条件极值转化为无条件极值如上例，从条件解出代入效用函数得化为无条件极值问题。条件极值：对自变量有附加条件的极值．2.拉格朗日乘数法先寻求函数在条件下取得极值的必要条件。目标函数约束条件(1)(2)若函数(1)在点取得所求的极值，则假设与在点的某邻域内均具有一阶连续偏导数，且由隐函数定理可知：方程(2)确定一连续且具有连续导数的(3)函数代入(
7、1)，得(4)于是函数(1)在点取得所求极值，相当于函数(4)在点处取得极值。所以(5)由(2)可得代入(5)，得(6)(3)和(6)就是函数(1)在条件(2)下在点取得极值的必要条件。设则若引入辅助函数(7)则(7)式中的点是的驻点。函数称为拉格朗日函数，参数称为拉格朗日乘子。拉格朗日乘数法要求函数),(yxfz=在条件0),(=yxj下的可能极值点，先作拉格朗日函数求出函数的驻点则点就是可能的条件极值点。(7)拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要求函数),,,(tzyxfu=在条件0,),,,(=tzyxj0),,,(=tzyxy下的极
8、值。作拉格朗日函数),,,,(),,,(21tzyxtzyxyljl+求出的驻点则就是可能的条件极值点。点解
