大学高等数学经典(VIII)

《大学高等数学经典(VIII)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节换元积分法一、第一类换元法通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分方法.第一换元积分法也称为凑元法。定理1设u=φ(x)在区间[a,b]上可导,g(u)在[α.β]上有原函数G(u),则不定积分存在,且证明:用复合函数的求导法则，验证第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些三角函数的恒等变换,分子分母的有理化,分子加减某项等方法.但不

2、同的方法得到积分的结果往往不相同,我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x))例1例2的积分，对于形如当m,n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.例3例4例5(1)关于自变量是线性形式,例如(2)被积函数可写成常见的凑元法有以下几种情况:的形式，例如(3)被积函数可写成f(xn)xn-1的形式,例如(4)被积函数可写成g(xn)x2n-1的形式,例如(5)被积函数可写成f(sinx)cosx或f(cosx)sinx的形式,例如(6)被积函数可写成(7)利用三角函数公式,常用的三角形式:①倍角公式②积化和

3、差公式的形式,例如此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2x等例如例6例7例8例9例10例11例12例13例14例15例16二、第二换元法定理设x=ψ(t)是单调,可导的函数,并且ψ’(t)≠0,又设f(ψ(t))ψ’(t)具有原函数φ(t),则有换元公式成立，其中是x=ψ(t)的反函数.证明:公式成立是有条件的.1)等号右边的不定积分或原函数要存在,且容易积分.2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的存在.常用的变量代换有下列四种类型：利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰当的三角恒等

4、式作三角代换.例如对1、三角代换例1求解:例2求解:例3求把x>a及x<-a的结合起来,我们得到从上面的例子可看出:可作代换x=asint化去根式;，如果被积函数含有，可作代换x=atant化去根式;如果被积函数含有如果被积函数含有，可作代换x=±asect化去根式;但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.例如当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积函数有理化.例4求还有一部分采用反三角函数代换，例如tx1例5求2、根式代换目的是将无理数变成有理数,便于积分例6求3、倒数代换，应用双曲代换例7求4、双曲代换当被积函数含有根号时

5、有类似的结果,综合得到下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作为积分公式处理.例8求解:例9求解:例10求解:利用上述结果进行二次根式的有理式积分例11例12例13