大学高等数学经典(VI)

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1、第三节曲面及其方程一曲面方程的概念1曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广:(1)就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的图形.②.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1).那么,方程有如下对应关系:①.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1).定义:给定空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0(1)如果它们下面,我们举例说明.2建立空间曲面方程的思想方法:空间曲面看成流动点的轨迹.而方程看成相应的流动坐标所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下:①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z)②以动点所满足的条件得到等式.③把坐标代入,转化为方程.xyzsF(x,y,z

2、)=0例1建立球心在点M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程.③把坐标代入,转化为方程.②以动点所满足的条件得到等式.①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z)1.设M(x,y,z)是球面上的任一点.xyzM0(x0,y0,z0)M(x,y,z)点所满足的条件得到等式)2.那么M点到球心M0(x0,y0,z0)的距离为半径R(这就是以动3.把坐标代入,转化为方程.半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2因为球面上任一点都适合等式(*),其坐标满足(**).从而满足方程(2).反之,不在球面上的点必不满足(*),其坐标不满足(**),从而不满足方程(2).故(2)为以M

3、0(x0,y0,z0)为球心,R为半径的方程.如果球心为(0,0,0),则以球心为坐标原点(0,0,0),形状.例2.方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎样的曲面的形状?曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为的球面.3.空间解析几何研究的两个基本问题:(1).已知一空间曲面,建立其方程.(2).已知坐标x,y,z的一个方程,研究该方程所代表的曲面一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面.特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.推广到空间中,所以球心的坐标为:由两点的距离公式可得到,球半径为例3球的一条直径的两端为(1,-2,3)和(-

4、3,4,1),求此球面方程.解:首先,平面几何中关于定比点及线段中点坐标的公式可所以球面方程为:(x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14二旋转曲面旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面.定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的轴.曲线C称为旋转曲面的母线.垂直于旋转轴的平面,如果与旋转面相交,它们的交线是中心在轴上的圆周.在坐标系下建立旋转曲面的方程.设yoz平面内有一已知曲线C,方程为f(y,z)=0.将其绕z轴CLxyzof(y1,z)=0(1)现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立旋转曲面

5、方程.在曲面上找一点M.它是曲线C上对应点(同一圆上的点)M1旋转得到的.M1(0,y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的方程因为M,M1到z轴的距离相等,有代入方程(1),得到这就是旋转曲面方程.特点:yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面.如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方代入代入方程z不变.而y用方程z不变.而y用旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成成的旋转曲面的方程.解:绕x轴旋转一周,x不变,y用这曲面叫做旋转椭球面.同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转得到旋转曲面的方程.例如在xo

6、y平面上的曲线f(x,y)绕x轴例3:把xoy坐标面上的椭圆绕x轴旋转一周,求所代入,就得到所求的方程例4将xoy平面上的双曲线解:绕x轴一周的曲面方程为这两种曲面都叫做旋转双曲面.三柱面下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面.定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动而生成的曲面叫做柱面.动直线L称为母线.曲线C称为柱面的准线.当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面,简称柱面.绕x,y轴旋转一周,求其方程曲面方程为绕y轴一周的LCB则它一定不在这空间曲面上.例:方程表示怎样的曲面.方程表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆.在空间表示

7、一曲面.该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐标,只要其横坐标和纵坐标满足方程该点必定在这空间曲面上.反之如果点不满足方程二次曲线,则这种柱面叫做二次柱面.此曲面可以看成由平行于z轴的直线沿xoy平面上的圆周移动而成的,它是一个柱面,它的母线一定平行z轴.即垂直于xoy平面.准线是圆的周长.类似地,在空间直角坐标系中,方程G(x,z)=0和方程H(y,z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.在母线平行于坐标轴的柱面中,如果准线是坐标面上的yxzzxy椭圆柱面双曲柱面zxy抛物柱面：四.