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1、第六节空间直线及其方程一空间直线的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0Lπ1π2yxz空间直线L可以看作是两个平面的交线,如果两个相交的平面π1和π2的方程分别为空间直线的方程不是唯一的.二空间直线的对称式方程与参数方程方向向量.则在L直线的点应该同时满足这两个方程.如果点M不在直线L上,它就不满足上面的方程组.由此可见上面两个方程是空间直线的一般方程.通过直线L的平面有很多个,上面方程的形式就不少.因此如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为直线的方向向量.由此可见一条直线的方向向量不是唯一的.任何非零向量只要平行
2、于已知直线,就是该直线的设点M(x,y,z)是直线L上的一点,则过空间一点可作而且只能作一条直线平行于已知直线.当直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量S={m,n,p}为已知时,直线L的位置就完全确定了.现在我们来建立这直线方程.SM0MLyxz方向余弦也叫做直线的方向余弦直线的对称式方程中分母可为零,此时分子也为零.方程组(2)就是直线L的方程,称为直线的对称式方程.直线的任一方向向量S的坐标m,n,p叫做这直线的一组方向数.S的方程组(2)中m,n,p不能同时为零.为了简便起见,我们允许的参数方程,t叫做参数.的方程组为个平面的法向量,于是
3、取不同的t就得到直线上不同的点,所以方程组(3)称为直线现在我们把直线的一般式方程化为对称式方程.设直线L1,求出直线L上的任意一点(x0,y0,z0).可先取x=x0,由(4),(5)得到y0,z02,求直线L的方向向量S={m,n,p}.因为直线L是由方程(4),(5)所确定的两平面的交线,因此它的方向向量同时垂直于这两最后得到得到例1设直线的一般方程为2x-3y+z-5=0,3x+y-2z-2=0.求这直线的对称式方程和参数方程.解:求直线上的一点,为了简便起见,我们取z=0,代入方程组这直线上的一点为(1,-1,0)2.求直线的方向向量直线的对称式方程直
4、线的参数方程s={x2-x1,y2-y1,z2-z1},所以直线方程为交线平行,故直线的方向向量同时和两平面的法向量垂直.称为两点式方程例2求通过两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的直线方程.解:因为直线过M1,M2两点,所以可取它为方向向量例3求过点{-3,2,5}且与两平面x-4z=8,2x-y-5z=1的交线平行的直方程.解:设所求直线的方向向量为S={m,n,p}而两平面的法向量分别为n1={1,0,-4},n2={2,-1,-5}由于所求直线与平面的由直线的方向向量知道所求直线方程为三两条直线的夹角1,定义:两条直线的方向向量的夹角
5、叫做两条直线的夹角.和直线2,求法设有直线它们的方向向量为根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和L2的夹角余弦两条直线垂直的充分必要条件是两条直线平行的充分必要条件是公式例4求两条直线L1和L2的夹角解:L1和L2的方向向量分别为故两直线的夹角为四直线与平面的夹角设直线L的方程是θφπnL平面的方程是Ax+By+Cz+D=0.因为夹角为π/2-θ或π/2+θ直线的方向向量S={m,n,p}与平面的法向量n={A,B,C}的1,定义:直线与它在平面上的投影直线的夹角θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角.直线与平面垂直的充分必要条件是：直线与平面平行的充分必
6、要条件是例5求过点(1,0,-2)且与直线L相互垂直的平面方程解:先求直线L的对称式方程:设z=0,则方程为用克莱姆法则,我们得到直线上的一点为(1,-1,0)对称式方程为直线的方向向量为{5,7,11}.下面,我们求直线上的一点.直线的方向向量为{5,7,11},直线上的一点为(1,-1,0直线的5x+7y+11z+17=0平面方程.平面与直线相互垂直,平面的法向量平行直线,所以平面的法向量同直线的方向向量相同.即为n={5,7,11}.平面的方向向量知道,并知道平面过点(1,0,-2).于是平面的方程为5(x-1)+7(y-0)+11(z+2)=0.即为例6
7、平面过z轴,且与平面2x+y-√5z=0的夹角为π/3,求此平面方程分析:平面过z轴,则z轴上的任一点,例如点O(0,0,0)在所求的平面上.因此只需要再求出平面的法向量,即可得到设所求平面的法向量为n=Ai+Bj+Ck因为n·n1=
8、n
9、
10、n1
11、cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到设所求的平面的法向量为:n,因为所求的平面过z轴,故有n·k=0.因为所求平面和已知平面的夹角为π/3.平面之间的夹角为其法向量之间的夹角.设已知平面的法向量为n1:则有(n,n1)=π/3.可得到所求平面方程.解:(1)平面过z轴,则点O(0,0,0)是所求平面上的
12、一点.所求平面过z轴,则
