线性控制系统的计算机辅助分析

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1、第4章线性控制系统的计算机辅助设计1早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方程的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机，通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响应曲线。MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现，给控制系统分析带来了福音。控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析。24.1线性系统的定性分析对于连续时间系统，4.1.1线性系统稳定性分析要使x(t)有界，则要eAt有界，即A矩阵的所有特征根均有

2、负实部。故如果闭环极点全部在S平面左半平面，则系统是稳定。在有界信号u(t)的激励下，其状态变量的解析解为3对于离散时间系统，其状态变量的解析解为要使x(kT)有界，则要Fk有界，即F矩阵的所有特征根的模均小于1。故如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。MATLAB中，可用eig()函数直接求取系统的特征根，也可用pzmap()函数直接绘制系统的零极点。4例1：系统传函为试判断其稳定性。num=[18514598236380

3、12266422208818576040320];den=[1365464536224496728411812410958440320];G=tf(num,den);eig(G)‘ans=-8.0000-7.0000-6.0000-5.0000-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000可见，系统是稳定的。5例2：离散系统受控对象的传函为控制器模型为试分析单位负反馈下的闭环系统稳定性。z=tf('z',0.1);G=0.00147635*(z^2+3.4040929*z+…0.71390672)/((z-1)*(z-0.535261429)*(

4、z-0.951229425));Gc=1.5*(z-0.5)/(z+0.8);GG=feedback(G*Gc,1);[eig(GG)abs(eig(GG))]ans=-0.79910.79910.9745+0.0782i0.97760.9745-0.0782i0.97760.53440.53446pzmap(GG)74.1.2线性系统的线性相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成P-1AP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵。这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进

5、行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算。MATLAB控制系统工具箱提供了ss2ss()函数完成状态方程模型的相似变换：G1=ss2ss(G,T)其中，G为原始的状态方程模型，T为变换矩阵。8例3：9例4：设系统的状态方程为实际应用中，若不要求将A变换为对角阵，则P也可用任意非奇异矩阵。变换矩阵P为反对角矩阵，反对角线上的元素为1，其余元素为0。另：首先介绍fliplr()函数，其变换矩阵行元素的左右顺序。如A=123456789101112fliplr(A)=43218765121110910A=[0100;0010;0001;-

6、24-50-35-10];G1=ss(A,[0;0;0;1],[24710],0);P=fliplr(eye(4));G2=ss2ss(G1,P)a=x1x2x3x4x1-10-35-50-24x21000x30100x40010b=u1x11x20x30x40c=x1x2x3x4y101724d=u1y10114.1.3线性系统的可控性分析现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能

7、通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；如果系统中所有的状态都是可控的，则称该系统为完全可控的系统。否则，就称系统不可控。121.线性系统的可控性判定可通过构造可控性判定矩阵若Tc为满秩矩阵，则系统为完全可控的。如果该矩阵不是满秩矩阵，则它的秩为系统的可控状态的个数。可控性判定矩阵由Tc=ctrb(A,B)函数构造。rank()函数可求出矩阵的秩。例5

8、：试判断系统的可控性。13若系统的Gram矩阵是非奇异矩阵，则该系