定积分几何应用(II)

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1、第一节机动目录上页下页返回结束定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?第六章表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义机动目录上页下页返回结束一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法(或微元分析法)元素的几

2、何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积（1）.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,曲边梯形面积机动目录

3、上页下页返回结束（2）.参数方程情形例2.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束（3）.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束例3.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定

4、的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)机动目录上页下页返回结束例4.求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束例5.计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页

5、下页返回结束例6.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:小结目录上页下页返回结束三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例7.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆

6、参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例8.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束侧面积元素若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的机动目录上页下页返回结束注意:侧面积为例9.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公

7、式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式机动目录上页下页返回结束定积分应用小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小机动目录上页下页返回结束3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)绕y轴:(柱壳法)机动目录上页下页返回结束