定积分第一节定积分的概念及性质

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1、第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质第五章一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积abxyo观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积(1)分割:ax0

2、x{Dx1,Dx2,,Dxn},曲边梯形的面积为(3)求和:曲边梯形的面积近似为;2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,

3、即定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)定积分存在的条件例1.用定积分表示下列极限:解:定积分的几何意义abxyo图5－1,,在上连续，oyabx图5－3既有正值又有负值时，各部分面积的代数和利用几何意义求定积分解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以例2习题：利用定积分的几何意义，说明下列等式：41102p=-òdxx对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限

4、的大小．三、定积分的性质性质1性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质3（定积分对于积分区间具有可加性）性质4性质5推论1：（1）推论2：（2）解令于是证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6解证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或