定积分的概念及性质.ppt

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1、abxyo定积分问题情境:1.曲边梯形面积问题;2.变速运动的距离问题.3.变力作功问题;我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义它们都归结为:分割、近似代替、求和、取极限定积分的概念定义其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.关于定积分的概念，还应注意两点:(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有(2

2、)在定积分的定义中，总假设，为了今后的使用方便，对于时作如下规定：例1利用定义计算定积分解:如果在[a,b]上且连续,此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.定积分的几何意义：如果在[a,b]上且连续，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.axbaxb如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.xy=f(x)a

3、boyA4A3A2A11.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.2.中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______举例2-2[-2,2]3.定积分=__________.8例3.求下列定积分:(1)例题分析:(2)求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。用定积分表示下列阴影部分面积S=______;S=______;S=______;XOy5-1y=x2-4x-5XOyy=cosxy=sinxXOy性质1两个函数代数和的定积分等

4、于它们定积分的代数和，即定积分的基本性质设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可积.推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b],则性质3性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间[a,b]之外时，上面表达式也成立.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外.利用定积分的几何意义，可分别求出例1解性质4性质5推论1推论2性质6(估值定理)证明例2解性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上

5、连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立证明因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有即数值介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点,使得即性质7的几何意义：在上至少存在一点,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为的矩形的面积.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称为函数f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t)

6、,t为时间，则表示该地、该日的平均气温.如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),(a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流在该截面处的平均水深为.