导数与积分的概念及运算、导数的应用

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1、第一部分　高考专题讲解专题一　集合、函数与导数第四讲导数与积分的概念及运算、导数的应用导数已成为高考命题的一个重要载体．通过导数可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇，并且在求解导数应用方面的试题中可以渗透各种重要的数学思想方法，如：数形结合、分类讨论、等价转化等，因此导数的应用是高考的一个热点．高考试题中对导数应用的考查，既有客观题，也有主观题，客观题侧重于对单调性和极值、最值的考查，主观题则侧重于导数的综合应用，即导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等的综合，在利用导数解决函数、方程、不等式等

2、方面的综合问题时，要注意函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合等思想方法的运用．1.可导函数中，x0为极值点，则f′(x0)＝0，但是f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件．例如，y＝x3在x＝0处f′(0)＝0，但是f(x)在x＝0处无极值．2．求可导函数的单调区间的一般步骤：(1)确定定义域区间；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，得函数的递增区间；解不等式f′(x)<0，得函数的递减区间．注意：当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集．3．求可导函数f(x)的极值的步骤

3、：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；如果在这个根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值．4．注意极值与最值的区别与联系：极值是在某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大值、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者有区别的，极大(小)值不一定是

4、最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值．但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．5．用导数解决与恒成立有关的不等式问题通常与函数的最值或极值有密切的联系．我们可以通过求最值把不等式恒成立转化为一个不等式进行求解．6．复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导．每次求导都针对着最外层，直到求到最里层为止．所谓最里层是指可以直接应用基本公式进行求导的那一层．[答案]C[答案]D[解析]从图象可知，f′(x)>0，g′(x)>0，因此函数y＝f(x)，y＝g(

5、x)都是单调递增函数．又因为y＝f′(x)是递减的，y＝g′(x)是递增的，故根据导数的几何意义可知，y＝f(x)递增得慢，y＝g(x)递增得快，由此排除A和B.又f′(x0)＝g′(x0)，所以函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象在x0点处的切线的斜率相等，因此在x0处的切线应该是互相平行的，由此可知D选项正确．[答案]D[点评]一般地，如果在区间I上f′(x)>0，那么y＝f(x)在I上单调递增，如果在区间I上f′(x)<0，那么y＝f(x)在I上单调递减．因此在通过导数研究函数图象之间的关系时，对于原函数，我们

6、应关注它在哪个区间上递增，哪个区间上递减；而对于导函数，则应考查其在哪个区间上大于0，哪个区间上小于0.[解](1)函数的定义域是(0，＋∞)，又f′[解](1)当a＝－1时，f(x)＝x2·e－x，f′(x)＝－x·(x－2)·e－x.当x在[－1,1]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴x∈[－1,1]时，f(x)max＝f(－1)＝e，f(x)min＝f(0)＝0.[点评]一般地，若已知不等式在区间I上恒成立，求不等式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数，根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参

7、数求最值、数形结合等)进行求解．首先进行分离参数，然后利用导数求出分离参数后不等式一边的函数(或代数式)的最大值(或最小值)，进而得到参数的取值范围，即当a>f(x)恒成立时，只需a>f(x)max；当a

8、上的点，设AC＝xkm，C点的烟尘浓度记为y.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．1.导数与函数的单调性的关系在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在这个区间内单调递减；如果f′