常微分方程21变量分离方程与变量变换

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1、第二章一阶微分方程的初等解法9/17/2021常微分方程§2.1变量分离方程与变量变换先看例子：9/17/2021常微分方程定义1形如方程,称为变量分离方程.9/17/2021常微分方程一、变量分离方程的求解这样变量就“分离”开了.9/17/2021常微分方程例：分离变量:两边积分:9/17/2021常微分方程注:例1求微分方程的所有解.解:积分得:9/17/2021常微分方程故方程的所有解为:9/17/2021常微分方程解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:例2求微分方程的通解.9/17/202

2、1常微分方程例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数的定义有9/17/2021常微分方程即故方程的通解为9/17/2021常微分方程例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问题的通解,所以所求的特解为:9/17/2021常微分方程9/17/2021常微分方程二、可化为变量分离方程类型（I）齐次方程9/17/2021常微分方程(I)形如方程称为齐次方程,求解方法:9/17/2021常微分方程例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得9/17/2021常微分方程两边积分得:即代入原来

3、变量,得原方程的通解为9/17/2021常微分方程例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得9/17/2021常微分方程两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为9/17/2021常微分方程(II)形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.9/17/2021常微分方程这就是变量分离方程9/17/2021常微分方程作变量代换(坐标变换)则方程化为为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.9/17/2021常微分方程解的步骤:9/

4、17/2021常微分方程例7求微分方程的通解.解:解方程组9/17/2021常微分方程将变量分离后得两边积分得:变量还原并整理后得原方程的通解为9/17/2021常微分方程注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如9/17/2021常微分方程以及例8求微分方程的通解.9/17/2021常微分方程解:代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为9/17/2021常微分方程三、应用举例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始

5、时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。解:根据球体的体积和表面积的关系得9/17/2021常微分方程分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得代入得雪球的体积随时间的变化关系为9/17/2021常微分方程作业P311,3,P316,9;13,15,18(2),9/17/2021常微分方程