平面曲线的曲率(V)

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1、§4.3平面曲线的曲率问题:如何定量化的刻画曲线的弯曲程度及其计算10曲率的概念BAABBA（1）（3）(2)AB可以看出：（a）对于等长的弧段，转角大，则弯曲程度也大问题在于:s>s,即两弧段不等长（2）的弧段AB的弯曲程度>(1)的弧段AB的弯曲程度（b）弧AB与AB的转角相等，但AB的弯曲程度>AB的弯曲程度所以刻画一段弧的弯曲程度应考虑它的平均弯曲程度才是合理的称为AB的平均曲率称为曲线在A点的曲率绝对值称为曲线在A点的曲率即当B沿弧段趋于A点时，平均曲率的极限的下面考虑如何计算曲率K解由于

2、=曲率求半径为R的圆的平均曲率与曲率例设则ABR每一点都相等）并且与半径R呈倒数关系即圆在任一点处的曲率都是相等的（即弯曲程度一般地，设平面曲线为并假定x(t),y(t)在,上有连续的导数在曲线L上，取一定点P，并选取曲线的一方向作为曲线的正向对于曲线上的一点A,若PA与曲线的正向一致，反之取负值-PA.弧的概念：而且是t的单调函数于是s=s(t),t则s取正值PA，xy即若曲线的正向与t上升描绘图形的方向一致时,s(t)单调增加,反之s(t)单调减少至此我们有下对应关系:xy则AB=s设s

3、对应于点A,s+s对应于B,我们把切线上向着弧s增加的方向叫做切线的正方向(正切向)记切线A与x轴正向的夹角为(s),切线B与x轴正向的夹角为(s+s)即曲率由于下面考虑计算弧微分ds设A(x,y),B(x+x,y+y),则xyxx+x可以证明:所以(1)所以,有若我们进一步约定x增加时,描绘图形的方向为曲线的正方向(今后总是这样约定),此时所以有式(2)称为弧微分公式(直角坐标情形)(2)即说明:(a)从式(2)可得（微分三角勾股定理）xyxx+x弧微分ds为斜边AB的长同时可得(3)(b)若曲线为参数方

4、程，则由(c)若曲线,从(4)可得以下极坐标情形的弧微分公式从(3)可得以下参数方程情形的弧微分公式(4)(5)设曲线由给出,f(x)在a,b上有二阶连续导数,则得到直角坐标情形的曲率计算公式(3)求曲线在点例处的曲率解曲率将代入得曲线在M点的曲率将曲线表为参数方程:此时解求极坐标方程为例的曲线上任一点处的曲率.所以曲率实际应用中，在曲线上一点处常用与此曲线有相同曲率的圆来近似地代替曲线在这一点附近的一段弧下面考虑曲率半径的计算:（直角坐标情形）定义如果一圆（2）与曲线在点A处有相同的凹凸性；（3）与曲线在点A处有相同的曲

5、率,则称这个圆为曲线在A点处的曲率圆，曲率圆的中（1）与曲线相切于点A心叫做曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径如果曲线在A点处的曲率为K，由于圆的曲率所以曲线在点A处的曲率半径就是它的半径的倒数,曲线y=f(x)在原点处的曲率半径为由于y=f(x)在原点与x轴相切f(0)=0设曲线y=f(x)与x轴相切于原点，又f(x)在点x=0的某领域内具有二阶连续导数,且f(x)0，试证明：例证明为了求出f(0)的表达式,我们利用泰勒公式(介于0与x之间)又由于在原点相切,所以f(0)=f(0)=0