节平面曲线的曲率.doc

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1、第6节曲线的曲率6.1弧长微分在曲线上取定一点为起点，从到的曲线段长记为，并规定当时。是单调增加的函数。下面求弧长微分。图6.1如果则如果则以后经常要用到以上弧长微分公式。6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。设曲线在的切线与轴正向的夹角为，在的切线与轴正向的夹角为。经过，切线的夹角变化了设和之间曲线的长为。10/8容易想见，和之间曲线的曲率<弯曲程度）与成正比，与成反比，平均曲率让求极限，就得到曲线在的曲率<弯曲程度）下面我们求出从而得到求曲率的计算公式。用作参数例子：求半径为的圆

2、上一点的曲率。解、上半圆的方程。圆的曲率到处一样，求在处的曲率即可。10/8这一结果是符合实际的。因此我们把称为曲线在点的曲率半径。以为半径，在曲线凹侧，又与曲线在点相切的圆称为曲线在点的曲率圆，其圆心称为曲率中心。b5E2RGbCAP【例6.1】求摆线，的曲率，并讨论在摆线上哪一点曲率最小？最小的曲率是多少？<）解、10/8最小最大。当曲率最小【例6.2】铁路弯道的缓和曲线　铁轨弯道的主要部分是呈圆弧形的<称为主弯道）．为了使列车既平稳又安全，除了必须使直道与弯道相切以外，还须考虑轨道曲线的曲率在切点

3、邻近连续的变化<这时列车在该点邻近所受向心力也将连续地变化）．我们知道，直线的曲率为0，而半径为的圆弧的曲率是，如果直道与圆弧形弯道直接相切，则在切点处曲率有一跳跃度，只有当充分大，列车在转弯时才显得较为平稳，但是实际铺设铁轨时，由于地形的限制，弯道的半径不可能随意放大，故需要在直道与弯道之间增加一段称为缓和曲线的弯道，以使得铁轨的曲率连续地从零过渡到．p1EanqFDPw解、<对题的解读看黑版。）设过渡曲线为<这是为了下面推算简单）。尽管设计精确一大堆小数，施工也不可能实现一大堆小数。因此作以下近似。

4、，很大，。取，即过渡曲线为。习题　3-6A类10/81.求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径：(1>在点；*(2>在点．2.求下列曲线的曲率与曲率半径：(1>抛物线(2>双曲线*(3>星形线3.求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径：*(1>椭圆(2>圆的渐开线4.求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径：*(1>心脏线*(2>双纽线(3>对数螺线5.求抛物线在顶点处的曲率圆方程.B类*1.设为抛物线上任一点处的曲率半径，为该曲线上一定点到的有向弧长<取增长方向与轴正向一致），证明：满足关系DXDiTa9E

5、3d2.设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点处的曲率为10/8总习题三*1.设满足关系式，且,，则在点处．A.取得极大值B.取得极小值C.在某邻域内单调增加D.在某邻域内单调减少2.设在上,则或的大小顺序是．A.B.C.C.*3.设函数在内连续，其导函数的图形如下图所示，则有．3题图A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点4.设常数,函数在内零点个数为．A.3B.2C.1D.0*5.设时,与是同阶无穷小,则为．A

6、.1　　　B.2　　　C.3　　　D.46.设函数和在上存在二阶导数，且,，证明(1>在内；10/8(2>在内至少存在一点，使.7.设在上函数有连续导数，且，，证明：在内有且仅有一个零点．8.设在上可导，且．求证：存在，使．9.求证方程恰好有三个不同实根．10.求下列极限：*(1>(2>，．(3>(4>(5>(6>11.证明不等式：*(1>当时，．(2>当时，．(3>．(4>，其中．12.在中求出最大的一个数．*13.设在和处取得极值，试确定与的值，并证明是极大值，是极小值．14.设在的某邻域内具有3阶

7、连续导数，如果，，，试问是否为极值点，为什么？是否为拐点，为什么？*15.讨论函数的性态，并作出图形．10/816.设函数在区间是下凸的,则,以及满足的个非负数(称为凸组合>,总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合，即RTCrpUDGiT.17.设，，在处连续，且，问在处有无极值？18.设，其中存在，且，为常数，试确定的值，使在处可导，并求出．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。10/8