自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动

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1、§11-4单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动●在振动过程中有动力荷载作用的振动称为强迫振动。分析强迫振动的目的是求结构最大的动位移和动内力。一.运动方程的建立和求解运动方程为或运动方程式是非齐次二阶常微分方程，其通解包括两部分，一部分为相应齐次方程的通解，即：一般解特解，设为代入方程，则得即要使上式在t为任意值时均能成立，则必须是等式两边括号中的系数分别等于零，即由此可解出通解为式中C1、C2取决于初始条件。设当时，，代入上式，可求得通解为由此式可知，振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作

2、用发生的振动，但其频率与体系的自振频率一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振动都含有因子，故它们将很快衰减而消失，最后只剩下按干扰力频率而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳态强迫振动。我们把振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段，而把后面只剩下纯强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因而对实际问题一般只讨论纯强迫振动稳态强迫振动下面分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。二．不考虑阻尼的纯强迫振动1.运动方程及方程的解令，质点m的运动方程为由式(11-28)的第三项可知纯强迫振动质点的位移为2.振幅的计算质点的最大动位移(即

3、振幅)为由于，故，代入上式得式中代表将简谐荷载的幅值P作为静力荷载作用于结构上时所引起质点的静力位移；而为质点的振幅与静力位移之比值，称为位移动力系数。若干扰力，则类似地可得纯强迫振动质点的位移为由上可知，根据与的比值求得动力系数后，只要将简谐荷载的幅值P当作静力荷载而求出质点的位移，然后再乘以，即可求得质点的振幅A。由上式可知，值与值越接近，

4、

5、越大。为了减小质点的振幅，应使值尽量远离值。当＞时，应设法增大结构的自振频率(增大结构刚度或减小质量)；当＜时，应设法减小结构的自振频率(减小结构刚度或增大质量)。值得指出，对于干扰力作用在质点上的单自由

6、度体系，它所承受的干扰力和惯性力的作用线重合，可以合并为一个外力，所以各截面的内力和位移均与质点的位移成正比，不仅是质点位移的动力系数，同时也是各截面内力和位移的动力系数。可以看出，当＜时，为正值。又从右式可知，此时y(t)与P(t)的方向恒相同(称为同相位)，质点运动到最下(或上)端与干扰力向下(或上)达到最大值是同时发生的。而当＞时，β则为负值，根据右式有与干扰力P(t)=Psin比较可以看出，强迫振动的相位()与干扰力的相位正好相差。即y(t)与P(t)的方向恒相反，当干扰力向下(或上)达到最大值时则质点正好运动到最上(或下)端。由于振动时质

7、点是上下往返运动，值的正负对动力反应的计算无实际意义，需要的是它的绝对值。3.讨论与的变化曲线(1)<<时,.当时,,这表明当简谐荷载的周期T=为结构自振周期的五倍以上时，可将其视为静力荷载。(2)0＜＜1时，值随的增大而增大，动力系数＞1。(3)=1时，=。这表明当干扰力的频率与自振频率相等时，动位移和动内力都将无限增大，这种现象称为共振。虽然实际上由于阻尼的存在，共振时不会出现动力反应无限大的情况，但共振时结构各种反应都比相应的静力反应大很多倍，在设计中应尽量避免共振。＞1时，

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9、值随的增大而减小。当＞＞时，

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11、，即干扰力的频率很大时，质点只在

12、静平衡位置附近作极微小的振动。三.考虑阻尼的纯强迫振动回顾式取第三项，并令则有式中A为有阻尼的纯强迫振动的振幅；是位移与荷载之间的相位差，表明质点位移y(t)与荷载不同步，它们之间相差一个角，当干扰力为最大时，质点的位移并不是最大值。不同步的原因是阻尼力，它不与位移成比例。由式(g)得振幅相位差以代入上式，则振幅A可写为振幅动力系数可见动力系数不仅与和比值有关，而且与阻尼比有关。对于不同的值，可绘出相应的与之间的关系曲线，如图所示。从该图可以看出，阻尼比对动力系数的影响，与频率比值有关。工程中一般将0.75＜＜1.25的区域称为共振区，在共振区内，

13、阻尼比对动力系数的影响明显，阻尼力大大减小了强迫振动的位移，应考虑阻尼的影响。但在共振区外，对的影响很小，可按无阻尼计算。当=1时的动力系数为但的最大值并不发生在=1处。利用式(11-36)，由可知，发生在=处,即但通常值很小，故计算时可近似地将=1时的值作为最大值。下面由相位差的变化来分析振动时诸力的平衡关系。由下式可知：(1)当时，由式(11-32)可知，位移y(t)与P(t)同步。此时体系振动很慢，惯性力和阻尼力都很小，故动荷载主要由弹性力与之平衡。(2)当时，。此时体系振动很快，惯性力很大，弹性力和阻尼力相对比较小，动荷载主要与惯性力平衡。

14、(3)当时，。说明位移落后于荷载P(t)约90°，即荷载为最大时，位移和加速度都接近于零，因而弹性力和惯性力都接近于零，动