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《韦达定理的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之
2、震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求()2004的值。解析由①知1+2-=0,即()2-2·-1=0,③由②知(b2)2-2b2-1=0,④∴,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.由韦达定理,得+b2=2,·b2=-1.∴=[(+b2)+]2004=(2-1)2004=1.点评本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,
3、利用韦达定理求解,难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.-13-一、知识要点1、若一元二次方程中，两根为，。则，，；补充公式2、以，为两根的方程为3、用韦达定理分解因式【知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7,求a的值.解析设方程的两实根为x1,x2,根据韦达定理,有于是,x=(x1+x2)2-2x1·x2=(-)2-2·=（a2+8a-4）依题设,得(a2+8a-4)=7.解得a=-11或3.注意到x1,x2为方程的两个实数根,则△≥0,但a=-11时
4、,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0;a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0,故a=3.点评韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足△≥0这一前提条件.例2已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,-13-方程的两个根一个大于1,另一个小于1.解析(1)据题意知,m应当满足条件①②即由①,得m>2或m<-1,∴m<-2.(2)m应当满足的条件是即∴-25、3)m应当满足的条件是即∴∴m<-1.点评若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.【好题妙解】佳题新题品味例已知△ABC的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值.-13-解析依题设,有a+c=2b,①a2+b2+c2=84.②②可变为(a+c)+2-2ac=84-b2,③①代入③,得ac=,④∴a、c是关于x的一元二次方程x2-2bx+=0的两个不相等的正实数根.即166、定理的逆定理是:如果x1,x 2满足x1+x2=-，x1·x2=,那么x1·x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84转变为ac=,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.中考真题欣赏例1(2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以，为根的一元二次方程.解析∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,∴△=(4b)2-4×4×7b=0,即b2-7b=0.∴b1=0,b2=7.当b=0时,,关于
7、y的方程化为y2+2y+4=0,因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=4,y2=1.-13-则+=3，·=2∴以，为根的一元二次方程为y2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例2(2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由.解析∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两
8、个非零实数
