韦达定理的 应用

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1、韦达定理x型韦达定理24．【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设，过点作直线，交点的轨迹于两点(异于),直线的斜率分别为，证明为定值.【答案】(1)(2)见解析.解析（1）如图，因为，，故，所以，故，又圆的标准方程为，从而，所以,有题设可知，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为.（2）设，当的斜率不存在时，此时此时容易解出的坐标，此时.综上可知.点睛（1）动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.（2）解析几何中的定点

2、定值问题，通常把目标转化为（或）的整体，再用韦达定理转化即可.25．【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明为等腰三角形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析（1）将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得MA+MB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．试题解析（1）由直线都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程，，，，，所以为等腰三角形.点睛本题考查椭圆

3、的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.30．【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.学（）（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（1）（2）斜率之和为定值【解析】试题分析（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以PQ=MN=1，设

4、直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计算试题解析（Ⅰ）设椭圆的标准方程为椭圆过点，所以①，将代入椭圆方程化简得，因为直线与椭圆相切，所以②，解①②可得，，所以椭圆方程为；（Ⅱ）设点，则有，由题意可知，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得由题意可知③点睛定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最

5、后必定参数统消，定点、定值显现.含点代入椭圆的应用32．【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．【答案】（1）.（2）或.解析（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为，由.解得，故椭圆的方程为.（2）设当直线的斜率为0时，显示不符合题意.当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以①.点睛一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，

6、可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有（或）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.韦达定理求最值28．【2018河南郑州高三质检一】已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆的离心率；（2）如图，过作直线与椭圆分别交于两点，若的周长为，求的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析（1）有直线和圆相切得到关于的关系式，整理可得，从而可得．（2）根据三角形的周长可得，故，可得椭圆的方程．分直线斜率存在和不存在两种情况分别求得的值，可得最大值是．试题解析（1）由题意，即∴，

7、．（2）因为三角形的周长为，所以∴，故.②若直线斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设，则∴点睛圆锥曲线中求最值或范围问题的方法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．29．【2018陕西西安长安区一中高三上学期

8、八模】平面直角坐标系中，经过椭圆的一个焦点的直线与相交于两点，为的中点，且斜率是.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)