数项级数敛散性习题

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1、第十二章(1)习题课数项级数的敛散与幂级数的收敛域三、课外练习题一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法7/24/20211求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;7/24/20212一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限7/24/202133.任意项级数审敛法为收敛级数Leibn

2、iz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛7/24/20214例1解原级数发散．7/24/20215例2解根据极限审敛法,知所给级数收敛.7/24/20216例3解因为根据极限审敛法,知所给级数收敛.7/24/20217例4若级数均收敛,且证明级数收敛.证则由题设收敛收敛收敛7/24/20218解答提示:判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,P322题27/24/20219利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分

3、大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与p级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,7/24/202110设正项级数和也收敛.提示:因存在N>0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时P323题37/24/202111设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取P323题47/24/202112讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示

4、:(1)P>1时,绝对收敛;0

5、02120例7解7/24/2021217/24/202122二、求幂级数收敛域的方法•标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求下列级数的敛散区间:练习:P323题77/24/202123解当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为7/24/202124解因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;7/24/202125例8解分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:类似地，P323题7(1)7

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