关于数项级数敛散性的判定

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1、关于数项级数敛散性的判定1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理2.1数项级数收敛的定义数项级数收敛数项级数的部分和数列收敛于.这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列的极限是否存在的问题的讨

2、论，但由于求数列前项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.2.2数项级数的性质（1）若级数与都收敛，则对任意常数c,d,级数亦收敛，且;相反的，若级数收敛，则不能够推出级数与都收敛.注：特殊的，对于级数与，当两个级数都收敛时，必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时，一定发散；当两个都发散时，可能收敛也可能发散.例1判定级数与级数的敛散性.解：因为级数与级数收敛，故级数收敛.20因为级数发散，级数收敛，故级数发散.（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级

3、数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.例2判定级数的敛散性.解：先考察级数，因为，而级数发散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散.（4）级数收敛的必要条件若级数收敛，则.若，则级数发散.2.3判定定理2.3.1级数收敛的柯西准则级数收敛,,使得当m以及,都有.例1用柯西准则判别级数的敛散性.证明：由于因此，对于任意的.取使得当及任意的,由上式就有成立，故由柯西准则可推出原级数收敛.2.3.2正项级数判别法（1）正项收敛它的

4、部分和数列有界.20（2）比较判别法如果和是正项级数，若存在某整数，对一切都有(i)若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散.等比级数和P-级数的敛散性①等比级数，当时，级数收敛；当时，级数发散.②P-级数，当时，发散；当时，收敛.例2判别级数的敛散性.解：因为，而且P-级数收敛，由比较判别法知该级数收敛.（3）比较判别法的极限形式如果和是正项级数，如果，则（i）当时，和同时收敛或发散；（ii）当时，收敛时，也收敛；（iii）当时，发散时，也发散.例3判别级数的敛散性.解：因为,而正项级数发散，由比较原则的极限形式知原级数发散.(4)

5、比式判别法如果为正项级数,且，（i）若，则收敛；（ii）若，发散.20例4判别级数的敛散性.解：因为，所以由比式判别法知原级数发散.(5)比式判别法的极限形式如果为正项级数，且，则（i）若，则收敛；（ii）若或时，发散.例5判别级数的敛散性.解：因为，所以由比式判别法的极限形式知原级数发散.（6）根式判别法如果为正项级数，（i）如果，则收敛；（ii）若，则级数发散.(7)根式判别法的极限形式如果为正项级数，还有，（i）当时，则收敛；（ii）当时，则发散.例6判别级数的敛散性.解：因为，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛.(8)积分判别法若为上的非负减

6、函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.例7判别级数的敛散性.解：设，则在上为非负单调递减函数，而故由积分判别法知原级数收敛.20(9)Raabe判别法设，.(i)若存在及正整数,使得当时有，则级数收敛；(ii）若存在正整数,使得当时有，则级数发散.(10)Raabe判别法的极限形式设是正项级数，且有，（i）若,则级数收敛；（ii）若,则级数发散.例8判别级数的敛散性.解：容易验证，因为这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用Raabe判别法.此时，.由Raabe判别法知原级数收敛.正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的

7、选择顺序:①若易于求的，考察的值：，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；②若，不能直接判断级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当时，级数收敛；若或时，级数发散；③当时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.2.3.3一般项级数的判别方法（1）交错级数判别法Leibniz判别法若交错级数（），满足下述两个条件：（i）数列单调递减；（ii）,则级数收敛.20注：用Leibniz判别法判定

8、时，可以用以下几种方法：①比值法：考察是否有；②差值法：考察是否有；③导数法：即建立一个连续可