计算机控制系统分析4可控可观性

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1、§4.5离散控制系统的可控性如果在一个有限的时间里，用一个无约束的控制信号，能使系统的任一个状态，从任意的初始状态转移到任意需要的状态。那么，该系统称为状态完全可控性。系统可控性概念在控制系统的极点配置，最优控制中具有重要作用。1、线性定常离散系统的状态完全可控性设离散控制系统的状态方程为（4.60）其中为n维向量；H为维矩阵；G为维矩阵。如果存在着无约束的控制信号，使得任意一个状态由任意的初始状态开始，在最多n个采样周期内，转移到任意需要的状态，那么由方程式（4.60）所描述的离散系统是系统状态

2、完全可控的，或简单地称为状态可控的。下面推导状态完全可控性的条件，因为方程式（4.60）的解为可得(4.61）因为H是维向量，这样中每一列都是维向量，如果下述矩阵的秩是n，即（4.62）那么，n个向量能跨越n维空间。方程式(4.62）的矩阵叫做可控性矩阵。假如可控性矩阵的秩是n，那么对任意状态，存在着一系列无约束控制信号，满足方程式（4.61）。因此，可控性矩阵的秩n是给出了状态完全可控的充分条件。为了证明方程式（4.62）也是状态完全可控的必要条件，我们假设于是，向量不能跨越n维空间。因此，对所

3、有的i，某些不存在，所以方程（4.62）是状态完全可控的必要条件。如果控制信号是一个r维的向量，那么H是维的矩阵。可以证明状态完全可控的条件是矩阵的秩为n，即还可以证明，当为标量时，在n个采样周期内，使得状态由任意的初始状态转移到任意要求的状态时，所需要的无约束控制信号序列能唯一的确定。当为r维向量时，控制向量序列不是唯一的解，存在着多组的控制序列。2、线性定常离散系统的输出完全可控性在控制系统的设计中，对系统输出的控制要比状态的控制更为需要。对输出可控来讲，状态完全可控的条件，既不必要也不充分。

4、为此，需要对输出可控性另作定义。考虑下述的系统（4.63）（4.64）其中为n维向量；为标量；为m维向量；H为维矩阵；G为维矩阵；C为维矩阵。如果存在着无约束的控制信号，使得输出，由任意初始输出开始，在最多n个采样周期间隔内，达到输出空间的任意需要的点，那么由方程（4.63）和（4.64）所描述的离散系统是输出完全可控的。或简单地称为输出可控的。下面按照输出完全可控制的定义，来推导输出完全可控性的条件。因为方程式（4.63）的解为并有或输出完全可控的必要与充分条件是向量跨越了m维输出空间，或（4.

5、64）现在考虑为r维向量和存在着输入/输出D矩阵的系统（4.65）（4.66）其中维矩阵；维矩阵；维矩阵；维矩阵。这一系统的输出完全可控性的必要与充分条件是（4.67）比较式（4.64）和式（4.67），不难发现当系统输出方程中存在着D矩阵时，有助于达到输出完全可控性。§4.6离散控制系统的可观性在这一节中，讨论线性定常离散系统的可观测性。设控制作用为零的系统方程为（4.68）（4.69）其中　，，Ｇ与Ｃ　的定义与上一节同。如果每一个初始状态　　都可通过在一个有限数的采样周期间隔内，由　　　的观测

6、值来确定，那么这种系统叫做完全可观测的。或者当一个状态的转移时最终都会影响输出向量的所有分量，那么系统是完全可观测的。控制系统的可观性概念在状态观测、极点配量以及系统辩识中都有十分重要的作用。那么以及在方程式(4.68)和（4.69）中，没有考虑控制作用的理由是：如果系统由下述方程式描述（4.70）（4.71）因为矩阵　　　　和　　是已知的，　　也是已知的。上式右边的第2和第3项是已知的量。因此，它们可以从观测值　　　中减去。所以，对于研究完全可观测性的充分条件时，只要考虑方程式（4.68）和（4

7、.69）所描述的系统就足够了。下面我们来推导出由方程式（4.68）和（4.69）的所描述的离散系统完全可观测性条件。因为的解为完全可观测性意味着给定就能确定.为了确定n个未知数，只需要的n个值。因此，可利用的前面n个值，即，,来确定。对一个完全可观测系统，给定我们就能确定，注意到是m维向量，上述的n个联立方程式产生了个方程，这些方程中包含有。为了由这个方程中求得唯一的一组解，我们应该从这个方程组中写出n个线性无关的方程，这就需要矩阵的秩为n。这就是由方程式（4.68）和（4.69）所描述的系统完全

8、可观测性的条件。如果方程式（4.68）和（4.69）中的矩阵和是共轭矩阵，并考虑到矩阵的秩与共轭转置矩阵的秩是同样的，那么由方程式（4.68）和（4.69）所示系统的完全可观测的必要与充分的条件为的秩为n，方程式（4.73）中的“*”号表示矩阵的共轭转置。（4.73）结构分解状态可进一步分解为4个部分：能控能观能控不能观不能控能观不能控不能观传动函数只能反映能控能观部分的信息。