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1、第20卷第6期计算力学学报VOl.20NO.62003年12月ChineseJournalofComputationalMechanicsDecember2003文章编号:1007-4708(2003)06-0697-04亏损系统振动模态的可控可观性陈宇东1陈塑寰1吴伟2(1.吉林大学南岭校区力学系吉林长春130025;2.北京机械工业学院北京100085)摘要:利用奇异值分解方法来讨论系统广义模态的可控可观性的量度问题得到了亏损系统广义模态可控可观性的量度指标同时用实例说明了本文方法是有效的O关键词:亏损系统;模态的可控可观性中图分类号:0342文献标识码:
2、A本文将对文献[5]讨论的非亏损系统可控可观1引言性的量度方法进行推广用来处理亏损和接近亏损关于具有孤立特征值和重复特征值的非亏损系统广义模态的可控可观性问题O并用机翼颤振的系统模态的可控~可观性的讨论已经相当完善了O实例来说明其应用O例如文献[1]中研究了孤立模态的可控~可观性的2亏损系统重频模态可控问题;文献[23]和[4]则讨论了重复模态的可控~可观性的量度可观性的准则;通过应用输入矩阵B和输出矩阵C的奇异值分解的方法文献[5]给出了对于具有重考虑如下状态方程所描述的控制系统复特征值的非亏损系统的可控~可观性的定量测量方法O但是在实际的工程问题当中诸如象
3、一般阻x(t)=Ax(t)+BI(t)<(1)尼系统空气弹性力学的颤振分析等等这些所谓的Ly(t)=Cx(t亏损系统是不具备完整的特征向量来展开特征空这里A为n>n阶的状态矩阵x(t)ERn>1间的[67]O所以说上面所提到的对于模态可控性和为状态向量z(t)ER1>1为输入量y(t)ERg>1为可观性的结论是不能应用于具有重复特征值的亏输出向量矩阵BERn>1和CERg>n分别称作控制损系统的O在文献[2]中虽然提出了有关重复特征器分布矩阵和传感器分布矩阵指出了控制力和传值的亏损系统模态控制性和可观性的条件但是却感器的位置O并没有给出一种实际可行的定量分析的
4、方法O通过模态变换因此讨论具有重复特征值的亏损系统以及具x(t)=U(t)(2)有密集特征值的接近亏损系统的模态可控~可观性将方程(1)变换为模态坐标下的控制方程的有效的定量测量方法是非常必要的O矩阵奇异值分解(SVD)方法被广泛地用来处THm(t)Tm(t)TVm理振动控制问题例如在文献[5]中讨论了非亏损J0S=[]S+SBz(t)(3)重频系统模态的可控可观性的量度问题;文献[8]0/cHLc(t)JLVcJ中讨论了非直接自适应周期控制问题;文献[9]讨Lc(t)J论了机器人多手臂的模态控制问题;文献[10]讨论及了自适应光学系统的可控可观性;文献[11
5、]讨论了Tm(t)模态可控可观性的性能指标Oy(t)=C[UmUn-m]S=CUmm(t)+CUn-mc(t)收稿日期:2002-05-09;修改稿收到日期:2003-05-16.Lc(t)J基金项目:国家自然科学基金(19872028)资助项目.(4)作者简介:陈宇东(1970-)男博士讲师;陈塑寰(1934-)男教授博士生导师.式中698计算力学学报第20卷T/11零的正元素Oz是由大到小排列的,即O1O2/Op0.J=(5)方程(13)两端左乘DHH1,并考虑Pm=VmB,有L/mXmHHHDVmB=Z/(15)T/m+101或写成/m+2/=(6)~H
6、HDB=Z/(16)L0/n其中方程(3)中,假设/为m重的1=/2==/m=/~亏损重复特征值,而其他剩余的/D=VmD(17)m+1,/m+2,,/n,则是孤立特征值O将右模态矩阵和左模态矩阵表示~由方程(17)可以看出,D同样是对应于重复为分块的形式,即U=[Um,Un-m],V=[Vm,特征值A的广义模态矩阵,并且同样满足如下正交Vn-m],Em(z)和E(z)分别为对应于亏损重复特征性条件值和孤立特征值的模态坐标O~~H通过方程(3)和(4),我们能够得出广义模态D/=Im(18)坐标下重复特征值和孤立特征值的控制方程为其中-~Em(z)=JEm(z
7、)+Pm(z)(7)D=UmD(19)ym(z)=CmEm(z)(8)现在来考虑对应于部分重特征值的一组新的其中模态坐标yz(z)(z=1,2,,m),并作如下坐标变换H~Pm=VmB,Cm=CUm(9,10)x(z)=/y(z)(20)式中Pm和Cm分别为模态坐标下控制矩阵和将方程(20)代入方程(1),得观测矩阵,我们将通过这两个矩阵来研究系统模态-UmDy(z)=AUmDy(z)+Bz(z)(21)的可控性和可观性O对于方程(7)和(8)所表达的[2]~具有重复特征值的亏损系统,只有当方程(21)两端左乘DH,有rank(Pm)=m(11)-HH~Hy(
8、z)=DVmAUmDy(z)+@Bz(
