试验优化设计-数学建模非线性规划

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1、非线性规划（NonlinearProgramming）第六章一般的非线性规划问题6.1问题概论（模型）minf(x)s.t1（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（一些基本定义）梯度Hesse矩阵Jaccobi矩阵2§6.2最优解分类（注：不一定存在）定义6.2.1整体（全局）最优解定义6.2.2局部最优解（已有算法基本都是求局部最优解的）§6.3凸集与凸函数定义6.3.1凸集定义6.3.2（严格）凸函数称定义在凸集K上的实值函数f(x)为凸函数，若定义6.3.3凹函数3定义6.3.4凸规划（图集上凸函数的极小化问题）定理6.3.1设、均为凸集，则也

2、是凸集，对任意实数ß，是凸集。（证明）（推广）定理6.3.2有限个凸集的交集必是凸集定理6.3.3（分离定理）K为闭凸集，则定理6.3.4（支撑超平面定理）4定理6.3.5若均为凸集K上的凸函数，则也是K上的凸函数。（请证明）定理6.3.6设f(x)是凸集K上的凸函数，则实数C，水平集必为凸集。定理6.3.7若f(x)在开集K中可微，则f是K上的（严格）凸函数当且仅当5证明（充分性）任取，记由条件，（必要性）6令此即需证。若f(x)两阶可微，则有以下的定理：定理6.3.8设f(x)在开凸集K中二阶连续可微，f为凸函数的充要条件为：证明：（充分性）7此处从

3、而，(必要性)任取将在x处展开：8令得定理1.3.9证明9此即说明f是严格凸函数。定理6.3.10证明当充分小时在的邻域中，从而导出矛盾，证毕10§6.4最优性条件无约束极小化问题（模型）mins.t（6.4.1)定理6.4.1（一阶必要条件）若是可微函数，是问题（6.4.1)的一个局部最小点的必要条件为：（无约束极小化问题求解）等价于（方程组求解）定理6.4.2（二阶必要条件）设为中的二阶连续可微函数，如果是的一个局部极小点，则11证明：由定理6.4.1，。对任意的由于是局部极小点，故对于充分小的必有此式成立必须有，证毕。12定理6.4.3（二阶充分条

4、件）设两阶可微，若满足则点的一个严格局部极小点，这里是的两阶Hesse矩阵定理6.4.4（两阶充分条件）设两阶连续可微，若满足证明：任取显然，由假设，，由的任意性，是13定理6.4.5证毕14具有等式与不等式约束的极小化问题(NP)mins.t定义6.4.1设x是满足(NP)约束条件的点，记称I为x处不等式约束中的积极约束的下标集合定义6.4.2（积极约束）称约束为x处的积极约束定义6.4.3（正则点）若向量组线性无关，则称x为约束条件的一个正则点。15定理6.4.5（Kuhn-Tucker条件）设是(NP)的局部极小点且其中16例求下面问题的K-T点m

5、ins.t解：本问题的K-T条件为17（1）若（舍去）若（舍去）（2）（舍去）（3）18故有求得19§6.5迭代算法及收敛速度迭代算法记满足要求的点集为（如K-T点集，最优解集等）。算法一般采用迭代方法，即：任给一个初始点步1步2定义1.5.1（全局收敛性）设A是求解问题的一个算法，若对任意初始点在用算法A进行迭代时，或能在有限步求得最优解，或求得一无穷点列，该点列的任意聚点均为需求的点。20例1求解问题mins.t算法迭代点列例2求解min算法21迭代点列若若定义6.5.1（闭映射）设X何Y分别是两个非空闭集，A是从X到Y的一个点到集的映射，即对任意有

6、设，且若（例1种的映射是闭的，而例2中的映射则是非闭的）显然，例2的最优解为取算法A为X到X的一个映射：定理6.5.1若对任意取定的：（1）（2）存在，（3）算法A在外是闭的则算法A必定是全局收敛的。（证明从略）22收敛速度定义6.5.2设实数列除有限个外除有限个外其他被称为商收敛因子定理1.5.2仅有以下三种情况之一发生：（1）（2）（3），23定义6.5.3设，我们称为收敛到的阶。也称阶收敛到（对情况1，令，对情况2，令）显然，收敛的阶越大，收敛速度越快。当数列具有一阶收敛速度时越小数列收敛得越快。定义6.5.4若则称数列超线性收敛于例2（1）（2）

7、24