导数与数列型不等式

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1、关于导数与数列型不等式的解法导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点。本文就2014年高考陕西理数第21题谈起，总结解决此类问题的一般思路和方法。例1（2014年高考陕西卷理21）设函数，，，其中是的导函数.（1），求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解：（1），，，，，，，，，假设当时，，则当时，也成立.综上，，（2），，，.令，，易知，则，.当时，在上恒成立，在上单调递增，，满足条件；当时，令，解得，令，解得.于是在上单调递减，在上单调递

2、增，，与题设矛盾，综上可知.（3），证明如下：要证，只需证.在（2）中取，可得，，令，，则，故有，，…，，上述各式相加可得.从上面的解答方法可以看出，解决问题的方法为由函数得到函数不等式，进而对取值，再得到数列不等式，达到解决问题的目的。在此过程中有两个关键步骤：其一是如何得到函数不等式，其二是如何由函数不等式过渡到数列不等式。下面通过几道例题来感受一下：例2已知函数，，（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.解：（1）函数的单调增区间为，单调减区间为.（2），，.令，，令，解得；令，解得.则在单调递增，在单调递减，故，则.（3）由（2

3、）知，，.例3已知函数.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当且时，证明：.解：（1）实数的取值范围为.（2）由（1）知，令，则在上为增函数，，即，当且仅当时取等号.要证明，只需证.在中取，有，则；在中取，易知，则.综上可知成立，则原命题成立.