随机事件和概率1

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1、概率论与数理统计第一章随机事件与概率1引言概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支.所谓随机现象，是相对于决定性现象而言的.一定条件下必然发生(或出现)某一结果的现象称为决定性现象.例如，在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；又如在标准大气压下，纯水加热到100℃时必然会沸腾等等.2这些条件和结果之间存在着必然联系的现象就是决定性现象.3在自然现象和社会现象中还广泛存在着与决定性现象有着本质区别的一类现象，例如：当掷一枚硬币时，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上；每天上午8:00—9:00记录一个电话交换台收到用户的呼叫次数，可能是

2、0次，1次，2次……；再如，同一门炮向同一目标发射用同一工艺过程生产的炮弹；因为炮弹制造时种种偶然因素对炮弹质量有影响、炮筒位置有差异、空气中气流的变化……都影响着弹着点的位置，使弹着点在不同次发射中落在不同的位置.4这些现象的特点是：（1）在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果.（2）每一次试验或观察之前，不能完全肯定会出现哪种结果.（3）究竟出现哪种结果，呈现出偶然性.这种现象称为随机现象.5概率论研究随机现象有其独特的方法.它不是企图追索出现每一结果的物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报在哪些条件下出现某一确定的结果，而是

3、通过对随机现象的大量观察，揭示其规律性.例如连续多次掷一枚硬币，随着投掷次数的增加，出现正面的频率(出现正面的次数与投掷次数之比)逐渐稳定于1/2，从而揭示“出现正面”这一结果发生的可能性大小为1/2；又如多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数等等.6概率论有悠久的历史，它的起源与赌博问题有关.16世纪，意大利的学者开始研究掷色子(骰子)等赌博中的一些简单问题，例如比较两个色子出现点数之和为9与10的可能性大小.17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马(P.deFermat)及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较复

4、杂的赌博问题，他们解决了“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等.随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有一种相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展.7使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利(J.I.Bernoulli)，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率.随后棣莫弗(A.deMoivre)和拉普拉斯(P.S.Laplace)又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了

5、《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段.819世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.20世纪初受物理学的刺激，人们又开始研究随机过程.这方面柯尔莫哥洛夫、维纳(N.Wiener)、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒(W.Feller)等人做了杰出的贡献.9如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了三个世纪.二十世纪初

6、完成的勒贝格测度(H.L.Lebesgue)与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础.在这种背景下苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系.他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年概率论的迅速发展起了积极的作用.10数理统计学是概率论的一个姐妹学科，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.统计学自古有之，例如人口统计、社会调查等.但它不是现代

7、意义下的数理统计学，只是数据的记录和整理.数理统计学是随着概率论的发展而发展起来的.当人们认识到必须把数据看成是来自一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不能局限于数据本身之日，也就是数理统计诞生之时.11在19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，特别是高斯(C.F.Gauss)和勒让德关于观测数据的误差分析和最小二乘法.但数理统计学发展成为一门成熟的学科，则是20世纪上半叶的事.皮尔森(K.Pearson)、费希尔(R.A.Fisher)作出了重大贡献，1946年，克拉默发表的《统计学的数学方法》是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，可以把它作为数理

8、统计学进入成熟阶段的标志.12数理统计学用到很多近代